Номер 266, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 266, страница 136.

Условие.

266. a) $\frac{1}{1,003^{20}}$;

б) $\frac{1}{0,996^{40}}$;

в) $\frac{1}{2,0016^3}$;

г) $\frac{1}{0,994^5}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач воспользуемся формулой приближенного вычисления, основанной на разложении в ряд Тейлора для функции $(1+x)^n$ при малых значениях $|x|$: $$(1+x)^n \approx 1 + nx$$ Эта формула также известна как формула биномиального приближения.

а)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{1,003^{20}}$.

Представим выражение в виде степени:

$$\frac{1}{1,003^{20}} = (1,003)^{-20}$$

Теперь преобразуем основание степени к виду $(1+x)$:

$$1,003 = 1 + 0,003$$

Таким образом, имеем выражение $(1 + 0,003)^{-20}$. Здесь $x = 0,003$ и $n = -20$. Так как $x$ - малое число, можем применить формулу биномиального приближения:

$$(1 + 0,003)^{-20} \approx 1 + (-20) \cdot 0,003 = 1 - 0,06 = 0,94$$

Ответ: $0,94$

б)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{0,996^{40}}$.

Представим выражение в виде степени:

$$\frac{1}{0,996^{40}} = (0,996)^{-40}$$

Преобразуем основание степени к виду $(1+x)$:

$$0,996 = 1 - 0,004 = 1 + (-0,004)$$

Таким образом, имеем выражение $(1 - 0,004)^{-40}$. Здесь $x = -0,004$ и $n = -40$. Применим формулу приближения:

$$(1 - 0,004)^{-40} \approx 1 + (-40) \cdot (-0,004) = 1 + 40 \cdot 0,004 = 1 + 0,16 = 1,16$$

Ответ: $1,16$

в)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{2,0016^{3}}$.

Представим выражение в виде степени: $(2,0016)^{-3}$.

В данном случае основание не близко к 1, поэтому сначала вынесем 2 за скобки:

$$2,0016 = 2 \cdot 1,0008 = 2 \cdot (1 + 0,0008)$$

Подставим это в исходное выражение:

$$(2 \cdot (1 + 0,0008))^{-3} = 2^{-3} \cdot (1 + 0,0008)^{-3} = \frac{1}{8} \cdot (1 + 0,0008)^{-3}$$

Теперь применим формулу приближения для множителя $(1 + 0,0008)^{-3}$, где $x = 0,0008$ и $n = -3$:

$$(1 + 0,0008)^{-3} \approx 1 + (-3) \cdot 0,0008 = 1 - 0,0024 = 0,9976$$

Теперь умножим результат на $\frac{1}{8}$:

$$\frac{1}{8} \cdot 0,9976 = 0,125 \cdot 0,9976 = 0,1247$$

Ответ: $0,1247$

г)

Требуется вычислить приближенное значение выражения $\frac{1}{0,994^{5}}$.

Представим выражение в виде степени:

$$\frac{1}{0,994^{5}} = (0,994)^{-5}$$

Преобразуем основание степени к виду $(1+x)$:

$$0,994 = 1 - 0,006 = 1 + (-0,006)$$

Таким образом, имеем выражение $(1 - 0,006)^{-5}$. Здесь $x = -0,006$ и $n = -5$. Применим формулу приближения:

$$(1 - 0,006)^{-5} \approx 1 + (-5) \cdot (-0,006) = 1 + 5 \cdot 0,006 = 1 + 0,03 = 1,03$$

Ответ: $1,03$