Номер 259, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 259, страница 134.

Условие.

259. Под каким углом пересекается с осью Ox график функции:

а) $f(x) = 3x - x^3;$

б) $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

в) $f(x) = x^2 - 3x + 2;$

г) $f(x) = -\cos x?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Угол, под которым график функции пересекает ось $Ox$, — это острый угол между касательной к графику в точке пересечения и самой осью $Ox$. Тангенс угла наклона касательной ($k$) равен значению производной функции в точке пересечения ($x_0$), то есть $k = f'(x_0)$. Искомый угол $\alpha$ можно найти по формуле $\alpha = \arctan(|k|)$.

a) $f(x) = 3x - x^3$

1. Находим точки пересечения графика с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$3x - x^3 = 0$
$x(3 - x^2) = 0$
Отсюда получаем три точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$.

3. Вычисляем значения производной (тангенсы углов наклона касательных) в точках пересечения:
В точке $x_1 = 0$: $k_1 = f'(0) = 3 - 3 \cdot 0^2 = 3$.
В точке $x_2 = \sqrt{3}$: $k_2 = f'(\sqrt{3}) = 3 - 3(\sqrt{3})^2 = 3 - 9 = -6$.
В точке $x_3 = -\sqrt{3}$: $k_3 = f'(-\sqrt{3}) = 3 - 3(-\sqrt{3})^2 = 3 - 9 = -6$.

4. Находим углы пересечения:
Для $k_1 = 3$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(|3|) = \arctan(3)$.
Для $k_2 = -6$ и $k_3 = -6$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(|-6|) = \arctan(6)$.

Ответ: В точке $(0, 0)$ график пересекает ось $Ox$ под углом $\arctan(3)$, а в точках $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$ — под углом $\arctan(6)$.

б) $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$
$x + \frac{\pi}{4} = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).
$x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)' = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

3. Вычисляем тангенс угла наклона касательной в точках пересечения:
$k = f'\left(n\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(n\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n$.
Тангенс угла наклона равен $1$ (при четных $n$) или $-1$ (при нечетных $n$).

4. Находим угол пересечения $\alpha = \arctan(|k|)$.
Если $k = 1$, то $\alpha = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Если $k = -1$, то $\alpha = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ во всех точках пересечения под углом $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).

в) $f(x) = x^2 - 3x + 2$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Разложим на множители: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
Точки пересечения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

3. Вычисляем тангенс угла наклона касательной в точках пересечения:
В точке $x_1 = 1$: $k_1 = f'(1) = 2(1) - 3 = -1$.
В точке $x_2 = 2$: $k_2 = f'(2) = 2(2) - 3 = 1$.

4. Находим угол пересечения $\alpha = \arctan(|k|)$.
Для $k_1 = -1$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Для $k_2 = 1$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(|1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ в обеих точках пересечения под углом $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).

г) $f(x) = -\cos x$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$-\cos x = 0 \implies \cos x = 0$
Точки пересечения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

3. Вычисляем тангенс угла наклона касательной в точках пересечения:
$k = f'\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = (-1)^n$.
Тангенс угла наклона равен $1$ (при четных $n$) или $-1$ (при нечетных $n$).

4. Находим угол пересечения $\alpha = \arctan(|k|)$.
Если $k=1$, то $\alpha = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Если $k=-1$, то $\alpha = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ во всех точках пересечения под углом $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).