Номер 258, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 258, страница 134.

Условие.

258.—

a) $f(x) = 2 \cos x + x;$

б) $f(x) = \sin 2x + \sqrt{3}x;$

в) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

г) $f(x) = \sqrt{2}x - 2 \sin x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = 2 \cos x + x$ используем правило дифференцирования суммы и производные элементарных функций. Производная суммы равна сумме производных:

$f'(x) = (2 \cos x + x)' = (2 \cos x)' + (x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

• Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $(2 \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)'$.
• Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$. Следовательно, $(2 \cos x)' = 2(-\sin x) = -2 \sin x$.
• Производная переменной $x$ равна 1: $(x)' = 1$.

Складываем полученные результаты:

$f'(x) = -2 \sin x + 1$.

Ответ: $f'(x) = 1 - 2 \sin x$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} x$ используем правило дифференцирования суммы, правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и производные элементарных функций.

$f'(x) = (\sin 2x + \sqrt{3} x)' = (\sin 2x)' + (\sqrt{3} x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

• Для $(\sin 2x)'$ применяем цепное правило. Внешняя функция — синус, внутренняя — $2x$. Производная синуса — косинус, производная $2x$ — это 2. Таким образом, $(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.
• Для $(\sqrt{3} x)'$ выносим постоянный множитель $\sqrt{3}$: $\sqrt{3} \cdot (x)' = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Складываем полученные результаты:

$f'(x) = 2 \cos 2x + \sqrt{3}$.

Ответ: $f'(x) = 2 \cos 2x + \sqrt{3}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Здесь внешняя функция — косинус, а внутренняя — $g(x) = x - \frac{\pi}{3}$.

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$. Производная внутренней функции $g'(x) = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)' = (x)' - \left(\frac{\pi}{3}\right)' = 1 - 0 = 1$.

По цепному правилу, производная исходной функции равна произведению производной внешней функции (по внутренней) на производную внутренней функции:

$f'(x) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(x - \frac{\pi}{3}\right)' = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 1 = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $f'(x) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{2} x - 2 \sin x$ используем правило дифференцирования разности и производные элементарных функций.

$f'(x) = (\sqrt{2} x - 2 \sin x)' = (\sqrt{2} x)' - (2 \sin x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

• Постоянный множитель $\sqrt{2}$ выносим за знак производной: $(\sqrt{2} x)' = \sqrt{2} \cdot (x)' = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.
• Постоянный множитель 2 выносим за знак производной: $(2 \sin x)' = 2 \cdot (\sin x)'$. Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, $(2 \sin x)' = 2 \cos x$.

Вычитаем полученные результаты:

$f'(x) = \sqrt{2} - 2 \cos x$.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{2} - 2 \cos x$.