Страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

255. а) $f(x) = \frac{3}{x}, x_0 = -1, x_0 = 1;$

б) $f(x) = 2x - x^2, x_0 = 0, x_0 = 2;$

в) $f(x) = x^2 + 1, x_0 = 0, x_0 = 1;$

г) $f(x) = x^3 - 1, x_0 = -1, x_0 = 2.$

а)

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = \frac{3}{x}$ в точке с абсциссой $x_0$ используется формула $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{3}{x})' = (3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

Для точки $x_0 = -1$:
Вычисляем значение функции и производной в этой точке:
$f(-1) = \frac{3}{-1} = -3$
$f'(-1) = -\frac{3}{(-1)^2} = -3$
Подставляем значения в формулу касательной:
$y = -3 + (-3)(x - (-1)) = -3 - 3(x+1) = -3 - 3x - 3 = -3x - 6$.

Для точки $x_0 = 1$:
Вычисляем значение функции и производной в этой точке:
$f(1) = \frac{3}{1} = 3$
$f'(1) = -\frac{3}{1^2} = -3$
Подставляем значения в формулу касательной:
$y = 3 + (-3)(x - 1) = 3 - 3x + 3 = -3x + 6$.

Ответ: для $x_0=-1$ уравнение касательной $y = -3x - 6$; для $x_0=1$ уравнение касательной $y = -3x + 6$.

б)

Для функции $f(x) = 2x - x^2$.
Найдем производную:
$f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Для точки $x_0 = 0$:
$f(0) = 2(0) - 0^2 = 0$
$f'(0) = 2 - 2(0) = 2$
Уравнение касательной:
$y = 0 + 2(x - 0) = 2x$.

Для точки $x_0 = 2$:
$f(2) = 2(2) - 2^2 = 4 - 4 = 0$
$f'(2) = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$
Уравнение касательной:
$y = 0 + (-2)(x - 2) = -2x + 4$.

Ответ: для $x_0=0$ уравнение касательной $y = 2x$; для $x_0=2$ уравнение касательной $y = -2x + 4$.

в)

Для функции $f(x) = x^2 + 1$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Для точки $x_0 = 0$:
$f(0) = 0^2 + 1 = 1$
$f'(0) = 2(0) = 0$
Уравнение касательной:
$y = 1 + 0(x - 0) = 1$.

Для точки $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^2 + 1 = 2$
$f'(1) = 2(1) = 2$
Уравнение касательной:
$y = 2 + 2(x - 1) = 2 + 2x - 2 = 2x$.

Ответ: для $x_0=0$ уравнение касательной $y = 1$; для $x_0=1$ уравнение касательной $y = 2x$.

г)

Для функции $f(x) = x^3 - 1$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^3 - 1)' = 3x^2$.

Для точки $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$
$f'(-1) = 3(-1)^2 = 3$
Уравнение касательной:
$y = -2 + 3(x - (-1)) = -2 + 3(x+1) = -2 + 3x + 3 = 3x + 1$.

Для точки $x_0 = 2$:
$f(2) = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$
$f'(2) = 3(2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$
Уравнение касательной:
$y = 7 + 12(x - 2) = 7 + 12x - 24 = 12x - 17$.

Ответ: для $x_0=-1$ уравнение касательной $y = 3x + 1$; для $x_0=2$ уравнение касательной $y = 12x - 17$.

256. а) $f(x) = 3 \sin x, x_0 = \frac{\pi}{2}, x_0 = \pi;$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x, x_0 = \frac{\pi}{4}, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = 1 + \cos x, x_0 = 0, x_0 = \frac{\pi}{2};$

г) $f(x) = -2 \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{2}, x_0 = \pi.$

а) Дана функция $f(x) = 3 \sin x$ и точки $x_0 = \frac{\pi}{2}$ и $x_0 = \pi$.
Задача состоит в том, чтобы найти значение производной функции $f(x)$ в указанных точках $x_0$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и производную синуса: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$ и $(\sin x)' = \cos x$.
$f'(x) = (3 \sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3 \cos x$.
2. Вычисляем значение производной в каждой из заданных точек, подставляя значение $x_0$ в выражение для $f'(x)$.
Для точки $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = 3 \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot 0 = 0$.
Для точки $x_0 = \pi$:
$f'(\pi) = 3 \cos(\pi) = 3 \cdot (-1) = -3$.
Ответ: $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$; $f'(\pi) = -3$.

б) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} x$ и точки $x_0 = \frac{\pi}{4}$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Производная тангенса равна $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.
2. Вычисляем значение производной в каждой из заданных точек.
Для точки $x_0 = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Для точки $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$.
Ответ: $f'(\frac{\pi}{4}) = 2$; $f'(\frac{\pi}{3}) = 4$.

в) Дана функция $f(x) = 1 + \cos x$ и точки $x_0 = 0$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$.
1. Находим производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы, производную константы и производную косинуса: $(u+v)' = u' + v'$, $(C)'=0$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$f'(x) = (1 + \cos x)' = (1)' + (\cos x)' = 0 - \sin x = -\sin x$.
2. Вычисляем значение производной в каждой из заданных точек.
Для точки $x_0 = 0$:
$f'(0) = -\sin(0) = -0 = 0$.
Для точки $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $f'(0) = 0$; $f'(\frac{\pi}{2}) = -1$.

г) Дана функция $f(x) = -2 \sin x$ и точки $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ и $x_0 = \pi$.
1. Находим производную функции $f(x)$.
$f'(x) = (-2 \sin x)' = -2 \cdot (\sin x)' = -2 \cos x$.
2. Вычисляем значение производной в каждой из заданных точек.
Для точки $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:
Поскольку функция косинус является четной ($\cos(-x) = \cos(x)$), имеем:
$f'(-\frac{\pi}{2}) = -2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = -2 \cos(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 = 0$.
Для точки $x_0 = \pi$:
$f'(\pi) = -2 \cos(\pi) = -2 \cdot (-1) = 2$.
Ответ: $f'(-\frac{\pi}{2}) = 0$; $f'(\pi) = 2$.

Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси абсцисс (257–258).

257.—

a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x;$

б) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 16x;$

в) $f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 2;$

г) $f(x) = x^3 - 3x + 1.$

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс в тех точках, где производная функции равна нулю. Это связано с тем, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$, а угловой коэффициент оси абсцисс (горизонтальной прямой) равен 0. Таким образом, для каждой функции мы найдем ее производную, приравняем ее к нулю, решим полученное уравнение относительно $x$, а затем найдем соответствующие значения ординаты $y=f(x)$, чтобы получить координаты искомых точек.

а) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 3x)' = 3x^2 - 6x + 3$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$3x^2 - 6x + 3 = 0$
Разделим обе части на 3:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Свернем по формуле квадрата разности:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.

Находим ординату точки, подставив $x=1$ в исходную функцию:
$y = f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1$.

Искомая точка имеет координаты $(1, 1)$.
Ответ: $(1, 1)$.

б) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 16x$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 + 16x)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 + 16 = 2x^3 + 16$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$2x^3 + 16 = 0$
$2x^3 = -16$
$x^3 = -8$
$x = -2$.

Находим ординату точки:
$y = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 + 16(-2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 32 = 8 - 32 = -24$.

Искомая точка имеет координаты $(-2, -24)$.
Ответ: $(-2, -24)$.

в) $f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 2$

Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^4 - 6x^2 + 2)' = 12x^3 - 12x$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$12x^3 - 12x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$12x(x^2 - 1) = 0$
$12x(x - 1)(x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Находим ординаты для каждой из этих точек:
При $x = 0$: $y = f(0) = 3(0)^4 - 6(0)^2 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x = 1$: $y = f(1) = 3(1)^4 - 6(1)^2 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
При $x = -1$: $y = f(-1) = 3(-1)^4 - 6(-1)^2 + 2 = 3(1) - 6(1) + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Искомые точки: $(0, 2)$, $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.
Ответ: $(0, 2)$, $(1, -1)$, $(-1, -1)$.

г) $f(x) = x^3 - 3x + 1$

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Находим ординаты для каждой из этих точек:
При $x = 1$: $y = f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.
При $x = -1$: $y = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Искомые точки: $(1, -1)$ и $(-1, 3)$.
Ответ: $(1, -1)$, $(-1, 3)$.

258.—

a) $f(x) = 2 \cos x + x;$

б) $f(x) = \sin 2x + \sqrt{3}x;$

в) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

г) $f(x) = \sqrt{2}x - 2 \sin x.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = 2 \cos x + x$ используем правило дифференцирования суммы и производные элементарных функций. Производная суммы равна сумме производных:

$f'(x) = (2 \cos x + x)' = (2 \cos x)' + (x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

• Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $(2 \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)'$.
• Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$. Следовательно, $(2 \cos x)' = 2(-\sin x) = -2 \sin x$.
• Производная переменной $x$ равна 1: $(x)' = 1$.

Складываем полученные результаты:

$f'(x) = -2 \sin x + 1$.

Ответ: $f'(x) = 1 - 2 \sin x$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} x$ используем правило дифференцирования суммы, правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и производные элементарных функций.

$f'(x) = (\sin 2x + \sqrt{3} x)' = (\sin 2x)' + (\sqrt{3} x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

• Для $(\sin 2x)'$ применяем цепное правило. Внешняя функция — синус, внутренняя — $2x$. Производная синуса — косинус, производная $2x$ — это 2. Таким образом, $(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.
• Для $(\sqrt{3} x)'$ выносим постоянный множитель $\sqrt{3}$: $\sqrt{3} \cdot (x)' = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Складываем полученные результаты:

$f'(x) = 2 \cos 2x + \sqrt{3}$.

Ответ: $f'(x) = 2 \cos 2x + \sqrt{3}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Здесь внешняя функция — косинус, а внутренняя — $g(x) = x - \frac{\pi}{3}$.

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$. Производная внутренней функции $g'(x) = \left(x - \frac{\pi}{3}\right)' = (x)' - \left(\frac{\pi}{3}\right)' = 1 - 0 = 1$.

По цепному правилу, производная исходной функции равна произведению производной внешней функции (по внутренней) на производную внутренней функции:

$f'(x) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(x - \frac{\pi}{3}\right)' = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 1 = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

Ответ: $f'(x) = -\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{2} x - 2 \sin x$ используем правило дифференцирования разности и производные элементарных функций.

$f'(x) = (\sqrt{2} x - 2 \sin x)' = (\sqrt{2} x)' - (2 \sin x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

• Постоянный множитель $\sqrt{2}$ выносим за знак производной: $(\sqrt{2} x)' = \sqrt{2} \cdot (x)' = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$.
• Постоянный множитель 2 выносим за знак производной: $(2 \sin x)' = 2 \cdot (\sin x)'$. Производная синуса $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, $(2 \sin x)' = 2 \cos x$.

Вычитаем полученные результаты:

$f'(x) = \sqrt{2} - 2 \cos x$.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{2} - 2 \cos x$.

259. Под каким углом пересекается с осью Ox график функции:

а) $f(x) = 3x - x^3;$

б) $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

в) $f(x) = x^2 - 3x + 2;$

г) $f(x) = -\cos x?$

Угол, под которым график функции пересекает ось $Ox$, — это острый угол между касательной к графику в точке пересечения и самой осью $Ox$. Тангенс угла наклона касательной ($k$) равен значению производной функции в точке пересечения ($x_0$), то есть $k = f'(x_0)$. Искомый угол $\alpha$ можно найти по формуле $\alpha = \arctan(|k|)$.

a) $f(x) = 3x - x^3$

1. Находим точки пересечения графика с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$3x - x^3 = 0$
$x(3 - x^2) = 0$
Отсюда получаем три точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{3}$, $x_3 = -\sqrt{3}$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$.

3. Вычисляем значения производной (тангенсы углов наклона касательных) в точках пересечения:
В точке $x_1 = 0$: $k_1 = f'(0) = 3 - 3 \cdot 0^2 = 3$.
В точке $x_2 = \sqrt{3}$: $k_2 = f'(\sqrt{3}) = 3 - 3(\sqrt{3})^2 = 3 - 9 = -6$.
В точке $x_3 = -\sqrt{3}$: $k_3 = f'(-\sqrt{3}) = 3 - 3(-\sqrt{3})^2 = 3 - 9 = -6$.

4. Находим углы пересечения:
Для $k_1 = 3$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(|3|) = \arctan(3)$.
Для $k_2 = -6$ и $k_3 = -6$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(|-6|) = \arctan(6)$.

Ответ: В точке $(0, 0)$ график пересекает ось $Ox$ под углом $\arctan(3)$, а в точках $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$ — под углом $\arctan(6)$.

б) $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$
$x + \frac{\pi}{4} = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).
$x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = \left(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)' = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.

3. Вычисляем тангенс угла наклона касательной в точках пересечения:
$k = f'\left(n\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(n\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos(n\pi) = (-1)^n$.
Тангенс угла наклона равен $1$ (при четных $n$) или $-1$ (при нечетных $n$).

4. Находим угол пересечения $\alpha = \arctan(|k|)$.
Если $k = 1$, то $\alpha = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Если $k = -1$, то $\alpha = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ во всех точках пересечения под углом $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).

в) $f(x) = x^2 - 3x + 2$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Разложим на множители: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
Точки пересечения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3$.

3. Вычисляем тангенс угла наклона касательной в точках пересечения:
В точке $x_1 = 1$: $k_1 = f'(1) = 2(1) - 3 = -1$.
В точке $x_2 = 2$: $k_2 = f'(2) = 2(2) - 3 = 1$.

4. Находим угол пересечения $\alpha = \arctan(|k|)$.
Для $k_1 = -1$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Для $k_2 = 1$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(|1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ в обеих точках пересечения под углом $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).

г) $f(x) = -\cos x$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $f(x) = 0$:
$-\cos x = 0 \implies \cos x = 0$
Точки пересечения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$.

3. Вычисляем тангенс угла наклона касательной в точках пересечения:
$k = f'\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) = (-1)^n$.
Тангенс угла наклона равен $1$ (при четных $n$) или $-1$ (при нечетных $n$).

4. Находим угол пересечения $\alpha = \arctan(|k|)$.
Если $k=1$, то $\alpha = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Если $k=-1$, то $\alpha = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: График пересекает ось $Ox$ во всех точках пересечения под углом $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).

260. Под каким углом пересекается с осью $Oy$ график функции:

a) $f(x) = \frac{1}{x-1};$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

в) $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2;$

г) $f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)?$

Угол, под которым график функции $y=f(x)$ пересекает ось $Oy$, — это угол $\alpha$, который образует касательная к графику в точке пересечения с положительным направлением оси $Ox$. Тангенс этого угла, также известный как угловой коэффициент касательной ($k$), равен значению производной функции $f'(x)$ в точке пересечения. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет абсциссу $x_0=0$, поэтому $k = f'(0)$, а сам угол находится как $\alpha = \arctan(k)$.

а) $f(x) = \frac{1}{x-1}$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{x-1}\right)' = \left((x-1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = -\frac{1}{(0-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$ (или $-\frac{\pi}{4}$ рад).

Ответ: $135^\circ$.

б) $f(x) = \frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{2\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = \frac{1}{2\cos^2(0 - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2\cos^2(-\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{4}} = 1$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ рад).

Ответ: $45^\circ$.

в) $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{2}(x-1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1) \cdot (x-1)' = x-1$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = 0 - 1 = -1$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$ (или $-\frac{\pi}{4}$ рад).

Ответ: $135^\circ$.

г) $f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)' = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = 2\cos\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ рад).

Ответ: $60^\circ$.