Номер 260, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 260, страница 134.

Условие.

260. Под каким углом пересекается с осью $Oy$ график функции:

a) $f(x) = \frac{1}{x-1};$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

в) $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2;$

г) $f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Угол, под которым график функции $y=f(x)$ пересекает ось $Oy$, — это угол $\alpha$, который образует касательная к графику в точке пересечения с положительным направлением оси $Ox$. Тангенс этого угла, также известный как угловой коэффициент касательной ($k$), равен значению производной функции $f'(x)$ в точке пересечения. Точка пересечения с осью $Oy$ имеет абсциссу $x_0=0$, поэтому $k = f'(0)$, а сам угол находится как $\alpha = \arctan(k)$.

а) $f(x) = \frac{1}{x-1}$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{x-1}\right)' = \left((x-1)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = -\frac{1}{(0-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$ (или $-\frac{\pi}{4}$ рад).

Ответ: $135^\circ$.

б) $f(x) = \frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{2\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = \frac{1}{2\cos^2(0 - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2\cos^2(-\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{4}} = 1$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ рад).

Ответ: $45^\circ$.

в) $f(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\frac{1}{2}(x-1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1) \cdot (x-1)' = x-1$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = 0 - 1 = -1$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$ (или $-\frac{\pi}{4}$ рад).

Ответ: $135^\circ$.

г) $f(x) = \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$

Находим производную функции:$f'(x) = \left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)' = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Вычисляем значение производной в точке $x=0$:$k = f'(0) = 2\cos\left(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Угол наклона касательной $\alpha$ равен:$\alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ рад).

Ответ: $60^\circ$.