Номер 255, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 255, страница 134.

Условие.

255. а) $f(x) = \frac{3}{x}, x_0 = -1, x_0 = 1;$

б) $f(x) = 2x - x^2, x_0 = 0, x_0 = 2;$

в) $f(x) = x^2 + 1, x_0 = 0, x_0 = 1;$

г) $f(x) = x^3 - 1, x_0 = -1, x_0 = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = \frac{3}{x}$ в точке с абсциссой $x_0$ используется формула $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{3}{x})' = (3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

Для точки $x_0 = -1$:
Вычисляем значение функции и производной в этой точке:
$f(-1) = \frac{3}{-1} = -3$
$f'(-1) = -\frac{3}{(-1)^2} = -3$
Подставляем значения в формулу касательной:
$y = -3 + (-3)(x - (-1)) = -3 - 3(x+1) = -3 - 3x - 3 = -3x - 6$.

Для точки $x_0 = 1$:
Вычисляем значение функции и производной в этой точке:
$f(1) = \frac{3}{1} = 3$
$f'(1) = -\frac{3}{1^2} = -3$
Подставляем значения в формулу касательной:
$y = 3 + (-3)(x - 1) = 3 - 3x + 3 = -3x + 6$.

Ответ: для $x_0=-1$ уравнение касательной $y = -3x - 6$; для $x_0=1$ уравнение касательной $y = -3x + 6$.

б)

Для функции $f(x) = 2x - x^2$.
Найдем производную:
$f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Для точки $x_0 = 0$:
$f(0) = 2(0) - 0^2 = 0$
$f'(0) = 2 - 2(0) = 2$
Уравнение касательной:
$y = 0 + 2(x - 0) = 2x$.

Для точки $x_0 = 2$:
$f(2) = 2(2) - 2^2 = 4 - 4 = 0$
$f'(2) = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$
Уравнение касательной:
$y = 0 + (-2)(x - 2) = -2x + 4$.

Ответ: для $x_0=0$ уравнение касательной $y = 2x$; для $x_0=2$ уравнение касательной $y = -2x + 4$.

в)

Для функции $f(x) = x^2 + 1$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$.

Для точки $x_0 = 0$:
$f(0) = 0^2 + 1 = 1$
$f'(0) = 2(0) = 0$
Уравнение касательной:
$y = 1 + 0(x - 0) = 1$.

Для точки $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^2 + 1 = 2$
$f'(1) = 2(1) = 2$
Уравнение касательной:
$y = 2 + 2(x - 1) = 2 + 2x - 2 = 2x$.

Ответ: для $x_0=0$ уравнение касательной $y = 1$; для $x_0=1$ уравнение касательной $y = 2x$.

г)

Для функции $f(x) = x^3 - 1$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x^3 - 1)' = 3x^2$.

Для точки $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$
$f'(-1) = 3(-1)^2 = 3$
Уравнение касательной:
$y = -2 + 3(x - (-1)) = -2 + 3(x+1) = -2 + 3x + 3 = 3x + 1$.

Для точки $x_0 = 2$:
$f(2) = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$
$f'(2) = 3(2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$
Уравнение касательной:
$y = 7 + 12(x - 2) = 7 + 12x - 24 = 12x - 17$.

Ответ: для $x_0=-1$ уравнение касательной $y = 3x + 1$; для $x_0=2$ уравнение касательной $y = 12x - 17$.