Номер 249, страница 129 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Применения непрерывности и производной. Глава 2. Производная и её применения - номер 249, страница 129.

Условие.

249.-

a) $(x^2 - 1) (x + 4) (x^3 - 8) \leq 0;$

б) $\sqrt{x^2 - 4} (x - 3) < 0;$

в) $x^2 (3 - x) (x + 2) > 0;$

г) $\frac{(x - 2)^3 (x + 5)}{(x + 3)^2} \geq 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x^2 - 1)(x + 4)(x^3 - 8) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого разложим левую часть на множители.

1. Разложим каждый множитель на более простые:
• $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ (разность квадратов).
• $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ (разность кубов).

2. Подставим разложенные множители в исходное неравенство:
$(x - 1)(x + 1)(x + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \le 0$

3. Проанализируем множитель $x^2 + 2x + 4$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 4$ положителен при любых значениях $x$.

4. Поскольку $x^2 + 2x + 4 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на этот множитель, не меняя знака неравенства:
$(x - 1)(x + 1)(x + 4)(x - 2) \le 0$

5. Найдем нули левой части: $x=1, x=-1, x=-4, x=2$. Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -4, -1, 1, 2.

6. Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(+)(+)(+)(+) = +$.
• При $x \in (1, 2)$: $(+)(+)(+)(-) = -$.
• При $x \in (-1, 1)$: $(-)(+)(+)(-) = +$.
• При $x \in (-4, -1)$: $(-)(-)(+)(-) = -$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-)(-)(-)(-) = +$.

7. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "минус", включая концы интервалов.
Ответ: $x \in [-4, -1] \cup [1, 2]$.

б) $\sqrt{x^2 - 4}(x - 3) < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4 \ge 0$
$(x - 2)(x + 2) \ge 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Произведение двух множителей отрицательно. Первый множитель $\sqrt{x^2 - 4}$ по определению неотрицателен ($\ge 0$).

3. Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы один множитель был строго больше нуля, а другой — строго меньше нуля.
Так как $\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$, для выполнения неравенства требуется одновременное выполнение двух условий:
• $\sqrt{x^2 - 4} > 0$, что равносильно $x^2 - 4 > 0$.
• $x - 3 < 0$.

4. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Из второго неравенства получаем $x < 3$, или $x \in (-\infty, 3)$.

5. Найдем пересечение полученных решений:
$(-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap (-\infty, 3)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-\infty, -2)$ и $(2, 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3)$.

в) $x^2 (3 - x) (x + 2) > 0$

1. Для удобства приведем множитель $(3-x)$ к стандартному виду $(x-k)$, вынеся минус за скобку:
$x^2 (-(x - 3))(x + 2) > 0$
$-x^2(x - 3)(x + 2) > 0$

2. Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2(x - 3)(x + 2) < 0$

3. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части:
$x=0$ (кратность 2, четная), $x=3$ (кратность 1, нечетная), $x=-2$ (кратность 1, нечетная).

4. Отметим точки -2, 0, 3 на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
• При $x > 3$: $(+)(+)(+) = +$.
• При переходе через корень $x=3$ (нечетной кратности) знак меняется: $-$.
• При переходе через корень $x=0$ (четной кратности) знак не меняется: $-$.
• При переходе через корень $x=-2$ (нечетной кратности) знак меняется: $+$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -2): +$; $(-2, 0): -$; $(0, 3): -$; $(3, \infty): +$.

5. Нам нужны значения $x$, при которых выражение строго меньше нуля. Это интервалы со знаком "минус".
Объединяем интервалы $(-2, 0)$ и $(0, 3)$.
Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (0, 3)$.

г) $\frac{(x-2)^3 (x+5)}{(x+3)^2} \ge 0$

1. Решим неравенство методом интервалов.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, т.е. $(x+3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3$.

2. Найдем нули числителя: $(x-2)^3(x+5)=0 \implies x=2$ и $x=-5$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

3. Найдем нули знаменателя: $(x+3)^2=0 \implies x=-3$. Эта точка исключается из решения (выколотая точка).

4. Определим кратность корней:
• $x=2$ (кратность 3, нечетная).
• $x=-5$ (кратность 1, нечетная).
• $x=-3$ (кратность 2, четная).

5. Отметим точки -5, -3, 2 на числовой прямой. Точки -5 и 2 закрашенные, точка -3 выколотая. Определим знаки дроби на интервалах.
• При $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$.
• При переходе через $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется: $-$.
• При переходе через $x=-3$ (четная кратность) знак не меняется: $-$.
• При переходе через $x=-5$ (нечетная кратность) знак меняется: $+$.
Знаки на интервалах: $(-\infty, -5): +$; $(-5, -3): -$; $(-3, 2): -$; $(2, \infty): +$.

6. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "плюс", а также нули числителя.
Получаем интервалы $(-\infty, -5]$ и $[2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$.