Номер 243, страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 243, страница 128.

Условие.

243. Докажите, что данное уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку [0; 1], и найдите его с точностью до 0,1:

а) $1,4 - 10x^2 - x^3 = 0;$

б) $1 + 2x^2 - 100x^4 = 0;$

в) $x^3 - 5x + 3 = 0;$

г) $x^4 + 2x - 0,5 = 0.$

Решение 1.

Решение 5.

а) $1.4 - 10x^2 - x^3 = 0$

Для доказательства существования корня на отрезке $[0; 1]$ рассмотрим функцию $f(x) = 1.4 - 10x^2 - x^3$. Эта функция является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой оси, включая отрезок $[0; 1]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:
$f(0) = 1.4 - 10 \cdot 0^2 - 0^3 = 1.4$
$f(1) = 1.4 - 10 \cdot 1^2 - 1^3 = 1.4 - 10 - 1 = -9.6$
Поскольку $f(0) > 0$ и $f(1) < 0$, согласно теореме о промежуточных значениях (теореме Больцано-Коши), существует по крайней мере одна точка $c \in (0, 1)$, в которой $f(c) = 0$. Таким образом, доказано, что уравнение имеет корень на отрезке $[0; 1]$.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$ будем подбирать значения $x$ из интервала $(0, 1)$ с шагом $0.1$.
$f(0.3) = 1.4 - 10 \cdot (0.3)^2 - (0.3)^3 = 1.4 - 10 \cdot 0.09 - 0.027 = 1.4 - 0.9 - 0.027 = 0.473 > 0$.
$f(0.4) = 1.4 - 10 \cdot (0.4)^2 - (0.4)^3 = 1.4 - 10 \cdot 0.16 - 0.064 = 1.4 - 1.6 - 0.064 = -0.264 < 0$.
Так как на концах отрезка $[0.3, 0.4]$ функция принимает значения разных знаков, корень уравнения находится в интервале $(0.3, 0.4)$. Длина этого интервала равна $0.4 - 0.3 = 0.1$, что удовлетворяет требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.3, 0.4)$, приближенное значение корня $x \approx 0.37$.

б) $1 + 2x^2 - 100x^4 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = 1 + 2x^2 - 100x^4$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. Найдем ее значения на концах отрезка:
$f(0) = 1 + 2 \cdot 0^2 - 100 \cdot 0^4 = 1 > 0$
$f(1) = 1 + 2 \cdot 1^2 - 100 \cdot 1^4 = 1 + 2 - 100 = -97 < 0$
Поскольку $f(0) > 0$ и $f(1) < 0$, по теореме Больцано-Коши, на интервале $(0, 1)$ существует корень уравнения.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$, будем проверять значения функции в точках интервала $(0,1)$.
$f(0.3) = 1 + 2(0.3)^2 - 100(0.3)^4 = 1 + 2(0.09) - 100(0.0081) = 1 + 0.18 - 0.81 = 0.37 > 0$.
$f(0.4) = 1 + 2(0.4)^2 - 100(0.4)^4 = 1 + 2(0.16) - 100(0.0256) = 1 + 0.32 - 2.56 = -1.24 < 0$.
Корень находится в интервале $(0.3, 0.4)$, длина которого $0.1$. Это соответствует требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.3, 0.4)$, приближенное значение корня $x \approx 0.33$.

в) $x^3 - 5x + 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 5x + 3$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. Найдем ее значения на концах отрезка:
$f(0) = 0^3 - 5 \cdot 0 + 3 = 3 > 0$
$f(1) = 1^3 - 5 \cdot 1 + 3 = 1 - 5 + 3 = -1 < 0$
Поскольку $f(0) > 0$ и $f(1) < 0$, по теореме Больцано-Коши, на интервале $(0, 1)$ существует корень уравнения.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$, будем проверять значения функции в точках интервала $(0,1)$.
$f(0.6) = (0.6)^3 - 5(0.6) + 3 = 0.216 - 3 + 3 = 0.216 > 0$.
$f(0.7) = (0.7)^3 - 5(0.7) + 3 = 0.343 - 3.5 + 3 = -0.157 < 0$.
Корень находится в интервале $(0.6, 0.7)$, длина которого $0.1$. Это соответствует требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.6, 0.7)$, приближенное значение корня $x \approx 0.66$.

г) $x^4 + 2x - 0.5 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 + 2x - 0.5$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. Найдем ее значения на концах отрезка:
$f(0) = 0^4 + 2 \cdot 0 - 0.5 = -0.5 < 0$
$f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1 - 0.5 = 1 + 2 - 0.5 = 2.5 > 0$
Поскольку $f(0) < 0$ и $f(1) > 0$, по теореме Больцано-Коши, на интервале $(0, 1)$ существует корень уравнения.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$, будем проверять значения функции в точках интервала $(0,1)$.
$f(0.2) = (0.2)^4 + 2(0.2) - 0.5 = 0.0016 + 0.4 - 0.5 = -0.0984 < 0$.
$f(0.3) = (0.3)^4 + 2(0.3) - 0.5 = 0.0081 + 0.6 - 0.5 = 0.1081 > 0$.
Корень находится в интервале $(0.2, 0.3)$, длина которого $0.1$. Это соответствует требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.2, 0.3)$, приближенное значение корня $x \approx 0.25$.