Номер 236, страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 236, страница 124.

Условие.

Найдите производную каждой из функций (236–238).

236.— а) $f(x) = x^3 \sin 2x;$
б) $f(x) = x^4 + \operatorname{tg} 2x;$
в) $f(x) = \frac{\cos 3x}{x};$
г) $f(x) = \frac{x}{\sin x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 \sin 2x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \sin 2x$.
Находим производные этих функций.
Производная $u(x)$: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции, так как аргументом синуса является функция $2x$. Производная $(\sin(g(x)))' = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$. В нашем случае $g(x) = 2x$, поэтому $g'(x) = 2$.
Таким образом, $v'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = (x^3)' \sin 2x + x^3 (\sin 2x)' = 3x^2 \sin 2x + x^3 (2\cos 2x)$.
Упростим выражение: $f'(x) = 3x^2 \sin 2x + 2x^3 \cos 2x$.
Ответ: $f'(x) = 3x^2 \sin 2x + 2x^3 \cos 2x$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = x^4 + \operatorname{tg} 2x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого: $(x^4)' = 4x^3$.
Производная второго слагаемого $(\operatorname{tg} 2x)'$ находится как производная сложной функции. Производная $(\operatorname{tg}(g(x)))' = \frac{1}{\cos^2(g(x))} \cdot g'(x)$. В данном случае $g(x) = 2x$, и $g'(x) = 2$.
Таким образом, $(\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 2x}$.
Складываем полученные производные: $f'(x) = 4x^3 + \frac{2}{\cos^2 2x}$.
Ответ: $f'(x) = 4x^3 + \frac{2}{\cos^2 2x}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\cos 3x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \cos 3x$ (числитель) и $v(x) = x$ (знаменатель).
Сначала найдем производную числителя $u'(x)$. Это производная сложной функции: $u'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.
Производная знаменателя: $v'(x) = (x)' = 1$.
Теперь подставляем найденные значения в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-3\sin 3x) \cdot x - (\cos 3x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-3x\sin 3x - \cos 3x}{x^2}$.
Можно вынести знак минус за дробь для более аккуратного вида: $f'(x) = -\frac{3x\sin 3x + \cos 3x}{x^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3x\sin 3x + \cos 3x}{x^2}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (x)' = 1$.
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Подставляем эти производные в формулу:
$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x}$.