Номер 237, страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 237, страница 124.

Условие.

237.—

а) $f(x) = \sin^2 x$;

б) $f(x) = \tan x + \cot x$;

в) $f(x) = \cos^2 x$;

г) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Предполагается, что в задаче требуется найти основной (наименьший положительный) период для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = \sin^2 x$

Для нахождения основного периода функции $f(x) = \sin^2 x$ воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Основной период функции $\cos(t)$ равен $2\pi$. Для функции вида $\cos(kx)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае мы имеем дело с функцией $\cos(2x)$, где $k=2$. Следовательно, ее основной период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Операции сложения с константой ($\frac{1}{2}$) и умножения на константу ($-\frac{1}{2}$) не влияют на значение периода. Следовательно, основной период функции $f(x) = \sin^2 x$ равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$

Для нахождения основного периода преобразуем данную функцию. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем:
$f(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
Период этой функции совпадает с периодом функции $\sin(2x)$.
Основной период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$. Для функции $\sin(kx)$ основной период $T$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k=2$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

в) $f(x) = \cos^2 x$

Для нахождения основного периода функции $f(x) = \cos^2 x$ воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Функция принимает вид: $f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Как и в пункте а), период этой функции определяется периодом функции $\cos(2x)$.
Основной период функции $\cos(2x)$ равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Сложение с константой и умножение на константу не изменяют период. Следовательно, основной период функции $f(x) = \cos^2 x$ равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

г) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для любого действительного значения $x$.
Таким образом, данная функция является константой: $f(x) = 1$.
Функция является периодической, если существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции $f(x)=1$ имеем: $f(x+T) = 1$ и $f(x) = 1$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого числа $T$.
Основным периодом называется наименьшее положительное число $T$, удовлетворяющее этому условию. Так как периодом является любое число $T \neq 0$, наименьшего положительного периода не существует.
Ответ: функция является периодической, но не имеет основного периода (периодом является любое действительное число $T \neq 0$).