Номер 231, страница 123 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 231, страница 123.

Условие.

231. а) $y = 2 \sin x;$

б) $y = 1 - \frac{1}{2}\sin x;$

в) $y = -0,5 \sin x;$

г) $y = 0,5 + 1,5 \sin x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения области значений функции $y = 2 \sin x$ мы исходим из того, что область значений функции $y = \sin x$ представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется двойное неравенство: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Чтобы получить выражение $2 \sin x$, нужно умножить все части этого неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются: $$2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$$ $$-2 \le 2 \sin x \le 2$$ Таким образом, значения функции $y = 2 \sin x$ лежат в пределах от -2 до 2 включительно.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [-2, 2]$.

б) Рассмотрим функцию $y = 1 - \frac{1}{2} \sin x$. Для нахождения ее области значений также начнем с базового неравенства для синуса: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Сначала умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $$(-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \ge -\frac{1}{2} \sin x \ge (-\frac{1}{2}) \cdot 1$$ $$\frac{1}{2} \ge -\frac{1}{2} \sin x \ge -\frac{1}{2}$$ Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания: $$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2} \sin x \le \frac{1}{2}$$ Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы получить исходное выражение для $y$: $$1 - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2} \sin x \le 1 + \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$$ Это можно записать в виде десятичных дробей: $0,5 \le y \le 1,5$.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [0,5; 1,5]$.

в) Для функции $y = -0,5 \sin x$ снова используем свойство функции синуса: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Умножим все части неравенства на -0,5. Так как -0,5 — отрицательное число, знаки неравенства инвертируются: $$(-0,5) \cdot (-1) \ge -0,5 \sin x \ge (-0,5) \cdot 1$$ $$0,5 \ge -0,5 \sin x \ge -0,5$$ Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему): $$-0,5 \le -0,5 \sin x \le 0,5$$ Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок от -0,5 до 0,5.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [-0,5; 0,5]$.

г) Найдем область значений для функции $y = 0,5 + 1,5 \sin x$. Исходное неравенство для синуса: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Умножим все части на 1,5 (положительное число), знаки неравенства не изменятся: $$1,5 \cdot (-1) \le 1,5 \sin x \le 1,5 \cdot 1$$ $$-1,5 \le 1,5 \sin x \le 1,5$$ Теперь прибавим 0,5 ко всем частям неравенства: $$0,5 - 1,5 \le 0,5 + 1,5 \sin x \le 0,5 + 1,5$$ $$-1 \le y \le 2$$ Таким образом, область значений данной функции — это отрезок от -1 до 2.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [-1, 2]$.