Номер 225, страница 120 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 225, страница 120.

Условие.

225. а) $f(x) = \left(3 - \frac{x}{2}\right)^{-9};$

б) $f(x) = \left(\frac{1}{4}x - 7\right)^{8} - (1 - 2x)^{4};$

в) $f(x) = (4 - 1,5x)^{10};$

г) $f(x) = (5x - 2)^{13} - (4x + 7)^{-6}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач необходимо найти производную $f'(x)$ каждой функции. Мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: если $f(x) = g(h(x))$, то $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В частности, для степенной функции $(u(x))^n$ её производная равна $n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x)$. Также будем использовать правило дифференцирования разности функций: $(u(x) - v(x))' = u'(x) - v'(x)$.

а)

Дана функция $f(x) = (3 - \frac{x}{2})^{-9}$.

Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 3 - \frac{x}{2}$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{-9}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (3 - \frac{x}{2})' = -\frac{1}{2}$.

Применяем цепное правило для нахождения производной $f'(x)$:

$f'(x) = -9 \cdot (3 - \frac{x}{2})^{-9-1} \cdot (3 - \frac{x}{2})'$

$f'(x) = -9 \cdot (3 - \frac{x}{2})^{-10} \cdot (-\frac{1}{2})$

Упрощаем полученное выражение:

$f'(x) = \frac{9}{2}(3 - \frac{x}{2})^{-10}$

Ответ: $f'(x) = \frac{9}{2}(3 - \frac{x}{2})^{-10}$

б)

Дана функция $f(x) = (\frac{1}{4}x - 7)^8 - (1 - 2x)^4$.

Производная разности функций равна разности их производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого $((\frac{1}{4}x - 7)^8)'$ по цепному правилу:

$((\frac{1}{4}x - 7)^8)' = 8 \cdot (\frac{1}{4}x - 7)^{8-1} \cdot (\frac{1}{4}x - 7)' = 8 \cdot (\frac{1}{4}x - 7)^7 \cdot \frac{1}{4} = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7$

Производная второго слагаемого $((1 - 2x)^4)'$ по цепному правилу:

$((1 - 2x)^4)' = 4 \cdot (1 - 2x)^{4-1} \cdot (1 - 2x)' = 4 \cdot (1 - 2x)^3 \cdot (-2) = -8(1 - 2x)^3$

Теперь вычитаем производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7 - (-8(1 - 2x)^3)$

$f'(x) = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7 + 8(1 - 2x)^3$

Ответ: $f'(x) = 2(\frac{1}{4}x - 7)^7 + 8(1 - 2x)^3$

в)

Дана функция $f(x) = (4 - 1,5x)^{10}$.

Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = 4 - 1,5x$, а внешняя — степенная функция $g(u) = u^{10}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (4 - 1,5x)' = -1,5$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = 10 \cdot (4 - 1,5x)^{10-1} \cdot (4 - 1,5x)'$

$f'(x) = 10 \cdot (4 - 1,5x)^9 \cdot (-1,5)$

Упрощаем полученное выражение:

$f'(x) = -15(4 - 1,5x)^9$

Ответ: $f'(x) = -15(4 - 1,5x)^9$

г)

Дана функция $f(x) = (5x - 2)^{13} - (4x + 7)^{-6}$.

Производная разности функций равна разности их производных. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого $((5x - 2)^{13})'$ по цепному правилу:

$((5x - 2)^{13})' = 13 \cdot (5x - 2)^{13-1} \cdot (5x - 2)' = 13 \cdot (5x - 2)^{12} \cdot 5 = 65(5x - 2)^{12}$

Производная второго слагаемого $((4x + 7)^{-6})'$ по цепному правилу:

$((4x + 7)^{-6})' = -6 \cdot (4x + 7)^{-6-1} \cdot (4x + 7)' = -6 \cdot (4x + 7)^{-7} \cdot 4 = -24(4x + 7)^{-7}$

Теперь вычитаем производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = 65(5x - 2)^{12} - (-24(4x + 7)^{-7})$

$f'(x) = 65(5x - 2)^{12} + 24(4x + 7)^{-7}$

Ответ: $f'(x) = 65(5x - 2)^{12} + 24(4x + 7)^{-7}$