Номер 230, страница 121 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 230, страница 121.
№230 (с. 121)
Условие. №230 (с. 121)
скриншот условия

230. Найдите производную функции f:
а) $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17};$
б) $f(x) = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3};$
в) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 5};$
г) $f(x) = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x - 7}.$
Решение 1. №230 (с. 121)

Решение 3. №230 (с. 121)


Решение 4. №230 (с. 121)


Решение 5. №230 (с. 121)
а) $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17}$
Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому производная функции $y=g(u(x))$ равна $y' = g'(u) \cdot u'(x)$.
В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $g(u) = u^{17}$, а внутренняя функция — это многочлен $u(x) = x^3 - 2x^2 + 3$.
Находим производную внешней функции: $g'(u) = (u^{17})' = 17u^{16}$.
Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = 3x^2 - 4x$.
Теперь, подставляя $u(x)$ обратно, собираем производную исходной функции:
$f'(x) = 17(x^3 - 2x^2 + 3)^{16} \cdot (3x^2 - 4x)$.
Ответ: $f'(x) = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.
б) $f(x) = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3}$
Используем правило дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$.
Найдем производную первого слагаемого $g(x) = \sqrt{1 - x^4}$. Это сложная функция, которую можно представить как $g(x) = (1 - x^4)^{1/2}$.
Производная внешней функции $(\sqrt{u})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$. Производная внутренней функции $(1 - x^4)'$ равна $-4x^3$.
Таким образом, $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4}} \cdot (-4x^3) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}}$.
Найдем производную второго слагаемого $h(x) = \frac{1}{x^2 + 3}$. Эту функцию можно представить как $h(x) = (x^2 + 3)^{-1}$.
Производная внешней функции $(u^{-1})'$ равна $-u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$. Производная внутренней функции $(x^2 + 3)'$ равна $2x$.
Таким образом, $h'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 3)^2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.
Складываем полученные производные:
$f'(x) = g'(x) + h'(x) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}} - \frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}} - \frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.
в) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 5}$
Для нахождения производной используем цепное правило. Представим функцию в виде $f(x) = (4x^2 + 5)^{1/2}$.
Внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Внутренняя функция $u(x) = 4x^2 + 5$, ее производная $u'(x) = 8x$.
Применяя цепное правило, получаем:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 5}} \cdot (8x) = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 5}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$.
г) $f(x) = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x - 7}$
Используем правило дифференцирования суммы: $f'(x) = ((3 - x^3)^5)' + (\sqrt{2x - 7})'$.
Найдем производную первого слагаемого $g(x) = (3 - x^3)^5$. По цепному правилу:
Внешняя функция $u^5$, ее производная $5u^4$.
Внутренняя функция $3 - x^3$, ее производная $-3x^2$.
$g'(x) = 5(3 - x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(3 - x^3)^4$.
Найдем производную второго слагаемого $h(x) = \sqrt{2x - 7}$. По цепному правилу:
Внешняя функция $\sqrt{u}$, ее производная $\frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Внутренняя функция $2x - 7$, ее производная $2$.
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x - 7}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.
Складываем производные:
$f'(x) = -15x^2(3 - x^3)^4 + \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.
Ответ: $f'(x) = -15x^2(3 - x^3)^4 + \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 230 расположенного на странице 121 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №230 (с. 121), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.