Номер 230, страница 121 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 230, страница 121.

Условие.

230. Найдите производную функции f:

а) $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17};$

б) $f(x) = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3};$

в) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 5};$

г) $f(x) = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x - 7}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^{17}$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому производная функции $y=g(u(x))$ равна $y' = g'(u) \cdot u'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $g(u) = u^{17}$, а внутренняя функция — это многочлен $u(x) = x^3 - 2x^2 + 3$.

Находим производную внешней функции: $g'(u) = (u^{17})' = 17u^{16}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)' = 3x^2 - 4x$.

Теперь, подставляя $u(x)$ обратно, собираем производную исходной функции:

$f'(x) = 17(x^3 - 2x^2 + 3)^{16} \cdot (3x^2 - 4x)$.

Ответ: $f'(x) = 17(3x^2 - 4x)(x^3 - 2x^2 + 3)^{16}$.

б) $f(x) = \sqrt{1 - x^4} + \frac{1}{x^2 + 3}$

Используем правило дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных: $(g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x)$.

Найдем производную первого слагаемого $g(x) = \sqrt{1 - x^4}$. Это сложная функция, которую можно представить как $g(x) = (1 - x^4)^{1/2}$.

Производная внешней функции $(\sqrt{u})'$ равна $\frac{1}{2\sqrt{u}}$. Производная внутренней функции $(1 - x^4)'$ равна $-4x^3$.

Таким образом, $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^4}} \cdot (-4x^3) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}}$.

Найдем производную второго слагаемого $h(x) = \frac{1}{x^2 + 3}$. Эту функцию можно представить как $h(x) = (x^2 + 3)^{-1}$.

Производная внешней функции $(u^{-1})'$ равна $-u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$. Производная внутренней функции $(x^2 + 3)'$ равна $2x$.

Таким образом, $h'(x) = -\frac{1}{(x^2 + 3)^2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = g'(x) + h'(x) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}} - \frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2x^3}{\sqrt{1 - x^4}} - \frac{2x}{(x^2 + 3)^2}$.

в) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 5}$

Для нахождения производной используем цепное правило. Представим функцию в виде $f(x) = (4x^2 + 5)^{1/2}$.

Внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция $u(x) = 4x^2 + 5$, ее производная $u'(x) = 8x$.

Применяя цепное правило, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 5}} \cdot (8x) = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 5}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 5}}$.

г) $f(x) = (3 - x^3)^5 + \sqrt{2x - 7}$

Используем правило дифференцирования суммы: $f'(x) = ((3 - x^3)^5)' + (\sqrt{2x - 7})'$.

Найдем производную первого слагаемого $g(x) = (3 - x^3)^5$. По цепному правилу:

Внешняя функция $u^5$, ее производная $5u^4$.

Внутренняя функция $3 - x^3$, ее производная $-3x^2$.

$g'(x) = 5(3 - x^3)^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(3 - x^3)^4$.

Найдем производную второго слагаемого $h(x) = \sqrt{2x - 7}$. По цепному правилу:

Внешняя функция $\sqrt{u}$, ее производная $\frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция $2x - 7$, ее производная $2$.

$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x - 7}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.

Складываем производные:

$f'(x) = -15x^2(3 - x^3)^4 + \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.

Ответ: $f'(x) = -15x^2(3 - x^3)^4 + \frac{1}{\sqrt{2x - 7}}$.