Номер 234, страница 123 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 234, страница 123.

Условие.

234.- Найдите $f'(0)$ и $f'(\pi)$, если:

а) $f(x)=\frac{1}{2}\cos (2x-\pi);$

б) $f(x)=x-\operatorname{tg} (-2x);$

в) $f(x)=3\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right);$

г) $f(x)=2\cos \frac{x}{2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x - \pi)$.

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$.

$f(x) = \frac{1}{2}(-\cos(2x)) = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$f'(x) = \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\sin(2x) \cdot 2 = \sin(2x)$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(\pi) = 0$.

б) Дана функция $f(x) = x - \text{tg}(-2x)$.

Упростим выражение, используя свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

$f(x) = x - (-\text{tg}(2x)) = x + \text{tg}(2x)$.

Найдем производную функции, используя правило суммы и правило дифференцирования сложной функции $(\text{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u'$.

$f'(x) = (x + \text{tg}(2x))' = (x)' + (\text{tg}(2x))' = 1 + \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 1 + \frac{2}{\cos^2(2 \cdot 0)} = 1 + \frac{2}{\cos^2(0)} = 1 + \frac{2}{1^2} = 1 + 2 = 3$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = 1 + \frac{2}{\cos^2(2 \pi)} = 1 + \frac{2}{1^2} = 1 + 2 = 3$.

Ответ: $f'(0) = 3$, $f'(\pi) = 3$.

в) Дана функция $f(x) = 3\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{2})$.

Упростим выражение для функции, используя формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$.

$f(x) = 3 \cdot \left(-\cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) = -3\cos\left(\frac{x}{3}\right)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(-3\cos\left(\frac{x}{3}\right)\right)' = -3 \cdot \left(-\sin\left(\frac{x}{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = 3\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = \sin\left(\frac{0}{3}\right) = \sin(0) = 0$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Дана функция $f(x) = 2\cos\frac{x}{2}$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(2\cos\frac{x}{2}\right)' = 2 \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = -2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\sin\frac{x}{2}$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = -\sin\left(\frac{0}{2}\right) = -\sin(0) = 0$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(\pi) = -1$.