Номер 239, страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 239, страница 124.

Условие.

239. Найдите точки, в которых $f'(x) = 0$, $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = 2 \sin^2 x - \sqrt{2} x$;

б) $f(x) = 2x + \cos (4x - \pi)$;

в) $f(x) = \cos 2x$;

г) $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3} x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = 2 \sin^2 x - \sqrt{2} x$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$. Для упрощения воспользуемся формулой понижения степени $2 \sin^2 x = 1 - \cos(2x)$. Тогда функция примет вид $f(x) = 1 - \cos(2x) - \sqrt{2}x$.

Производная этой функции: $f'(x) = (1 - \cos(2x) - \sqrt{2}x)' = 0 - (-\sin(2x) \cdot 2) - \sqrt{2} = 2\sin(2x) - \sqrt{2}$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$2\sin(2x) - \sqrt{2} = 0 \implies \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $x$: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$2\sin(2x) - \sqrt{2} > 0 \implies \sin(2x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем: $\frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{3\pi}{8} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = 2x + \cos(4x - \pi)$.

1. Найдем производную $f'(x)$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$, упростим функцию: $f(x) = 2x - \cos(4x)$.

Теперь найдем производную: $f'(x) = (2x - \cos(4x))' = 2 - (-\sin(4x) \cdot 4) = 2 + 4\sin(4x)$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$2 + 4\sin(4x) = 0 \implies \sin(4x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $4x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$2 + 4\sin(4x) > 0 \implies \sin(4x) > -\frac{1}{2}$.

Решением неравенства является совокупность интервалов: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 4, получаем: $-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = \cos 2x$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$-2\sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$.

Общее решение: $2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$-2\sin(2x) > 0 \implies \sin(2x) < 0$.

Решением этого неравенства является совокупность интервалов: $\pi + 2\pi n < 2x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (\sin 2x - \sqrt{3}x)' = \cos(2x) \cdot 2 - \sqrt{3} = 2\cos(2x) - \sqrt{3}$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$2\cos(2x) - \sqrt{3} = 0 \implies \cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение: $2x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$2\cos(2x) - \sqrt{3} > 0 \implies \cos(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого неравенства является совокупность интервалов: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем: $-\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.