Номер 233, страница 123 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 233, страница 123.

Условие.

233. a) $y = \sqrt{3} - 3 \operatorname{tg} x;$

Б) $y = \cos x - \operatorname{tg} x;$

В) $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} x;$

Г) $y = 2 \operatorname{tg} x - \sin x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $y = \sqrt{3} - 3 \operatorname{tg} x$.

Для нахождения производной $y'$ используем правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной. Производная разности функций равна разности их производных:

$y' = (\sqrt{3} - 3 \operatorname{tg} x)' = (\sqrt{3})' - (3 \operatorname{tg} x)'$

Производная константы $\sqrt{3}$ равна нулю: $(\sqrt{3})' = 0$.

Для второго слагаемого выносим константу 3 за знак производной и находим производную тангенса, которая равна $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$:

$(3 \operatorname{tg} x)' = 3 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$

Подставляем полученные значения в исходное выражение для производной:

$y' = 0 - \frac{3}{\cos^2 x} = -\frac{3}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{\cos^2 x}$

б) Дана функция $y = \cos x - \operatorname{tg} x$.

Находим производную как производную разности двух функций:

$y' = (\cos x - \operatorname{tg} x)' = (\cos x)' - (\operatorname{tg} x)'$

Используем табличные значения производных тригонометрических функций.

Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Производная тангенса: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

в) Дана функция $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} x$.

Для нахождения производной выносим постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак производной:

$y' = \left(\frac{1}{2} \operatorname{tg} x\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\operatorname{tg} x)'$

Используем табличное значение производной тангенса: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\cos^2 x}$

г) Дана функция $y = 2 \operatorname{tg} x - \sin x$.

Находим производную как производную разности двух функций:

$y' = (2 \operatorname{tg} x - \sin x)' = (2 \operatorname{tg} x)' - (\sin x)'$

Для первого слагаемого выносим константу 2 за знак производной и используем производную тангенса:

$(2 \operatorname{tg} x)' = 2 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x}$

Для второго слагаемого находим производную синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

Подставляем найденные производные в исходное выражение:

$y' = \frac{2}{\cos^2 x} - \cos x$

Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} - \cos x$