Страница 123 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

231. а) $y = 2 \sin x;$

б) $y = 1 - \frac{1}{2}\sin x;$

в) $y = -0,5 \sin x;$

г) $y = 0,5 + 1,5 \sin x.$

а) Для нахождения области значений функции $y = 2 \sin x$ мы исходим из того, что область значений функции $y = \sin x$ представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется двойное неравенство: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Чтобы получить выражение $2 \sin x$, нужно умножить все части этого неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются: $$2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$$ $$-2 \le 2 \sin x \le 2$$ Таким образом, значения функции $y = 2 \sin x$ лежат в пределах от -2 до 2 включительно.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [-2, 2]$.

б) Рассмотрим функцию $y = 1 - \frac{1}{2} \sin x$. Для нахождения ее области значений также начнем с базового неравенства для синуса: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Сначала умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $$(-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \ge -\frac{1}{2} \sin x \ge (-\frac{1}{2}) \cdot 1$$ $$\frac{1}{2} \ge -\frac{1}{2} \sin x \ge -\frac{1}{2}$$ Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания: $$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{2} \sin x \le \frac{1}{2}$$ Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства, чтобы получить исходное выражение для $y$: $$1 - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2} \sin x \le 1 + \frac{1}{2}$$ $$\frac{1}{2} \le y \le \frac{3}{2}$$ Это можно записать в виде десятичных дробей: $0,5 \le y \le 1,5$.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [0,5; 1,5]$.

в) Для функции $y = -0,5 \sin x$ снова используем свойство функции синуса: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Умножим все части неравенства на -0,5. Так как -0,5 — отрицательное число, знаки неравенства инвертируются: $$(-0,5) \cdot (-1) \ge -0,5 \sin x \ge (-0,5) \cdot 1$$ $$0,5 \ge -0,5 \sin x \ge -0,5$$ Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему): $$-0,5 \le -0,5 \sin x \le 0,5$$ Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок от -0,5 до 0,5.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [-0,5; 0,5]$.

г) Найдем область значений для функции $y = 0,5 + 1,5 \sin x$. Исходное неравенство для синуса: $$-1 \le \sin x \le 1$$ Умножим все части на 1,5 (положительное число), знаки неравенства не изменятся: $$1,5 \cdot (-1) \le 1,5 \sin x \le 1,5 \cdot 1$$ $$-1,5 \le 1,5 \sin x \le 1,5$$ Теперь прибавим 0,5 ко всем частям неравенства: $$0,5 - 1,5 \le 0,5 + 1,5 \sin x \le 0,5 + 1,5$$ $$-1 \le y \le 2$$ Таким образом, область значений данной функции — это отрезок от -1 до 2.
Ответ: Область значений функции $E(y) = [-1, 2]$.

232. a) $y = 3 \cos x;$

Б) $y = x + 2 \cos x;$

В) $y = 1 - \cos x;$

Г) $y = 2 \sin x + 1,5 \cos x.$

а) $y = 3 \cos x$

Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилом дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и производной косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.

Применяем эти правила к нашей функции:

$y' = (3 \cos x)' = 3 \cdot (\cos x)' = 3 \cdot (-\sin x) = -3 \sin x$.

Ответ: $y' = -3 \sin x$.

б) $y = x + 2 \cos x$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования суммы $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$, производную степенной функции $(x)'=1$, правило дифференцирования произведения константы на функцию и производную косинуса.

Производная первого слагаемого: $(x)' = 1$.

Производная второго слагаемого: $(2 \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2 \cdot (-\sin x) = -2 \sin x$.

Складываем производные слагаемых:

$y' = (x + 2 \cos x)' = (x)' + (2 \cos x)' = 1 - 2 \sin x$.

Ответ: $y' = 1 - 2 \sin x$.

в) $y = 1 - \cos x$

Здесь мы используем правило дифференцирования разности $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$, производную константы $(c)'=0$ и производную косинуса.

Производная первого слагаемого (константы): $(1)' = 0$.

Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Вычитаем производные:

$y' = (1 - \cos x)' = (1)' - (\cos x)' = 0 - (-\sin x) = \sin x$.

Ответ: $y' = \sin x$.

г) $y = 2 \sin x + 1,5 \cos x$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы, правило дифференцирования произведения константы на функцию, а также производные синуса $(\sin x)' = \cos x$ и косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.

Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(2 \sin x)' = 2 \cdot (\sin x)' = 2 \cos x$.

Производная второго слагаемого: $(1,5 \cos x)' = 1,5 \cdot (\cos x)' = 1,5 \cdot (-\sin x) = -1,5 \sin x$.

Складываем полученные производные:

$y' = (2 \sin x)' + (1,5 \cos x)' = 2 \cos x - 1,5 \sin x$.

Ответ: $y' = 2 \cos x - 1,5 \sin x$.

233. a) $y = \sqrt{3} - 3 \operatorname{tg} x;$

Б) $y = \cos x - \operatorname{tg} x;$

В) $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} x;$

Г) $y = 2 \operatorname{tg} x - \sin x.$

а) Дана функция $y = \sqrt{3} - 3 \operatorname{tg} x$.

Для нахождения производной $y'$ используем правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной. Производная разности функций равна разности их производных:

$y' = (\sqrt{3} - 3 \operatorname{tg} x)' = (\sqrt{3})' - (3 \operatorname{tg} x)'$

Производная константы $\sqrt{3}$ равна нулю: $(\sqrt{3})' = 0$.

Для второго слагаемого выносим константу 3 за знак производной и находим производную тангенса, которая равна $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$:

$(3 \operatorname{tg} x)' = 3 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3}{\cos^2 x}$

Подставляем полученные значения в исходное выражение для производной:

$y' = 0 - \frac{3}{\cos^2 x} = -\frac{3}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{\cos^2 x}$

б) Дана функция $y = \cos x - \operatorname{tg} x$.

Находим производную как производную разности двух функций:

$y' = (\cos x - \operatorname{tg} x)' = (\cos x)' - (\operatorname{tg} x)'$

Используем табличные значения производных тригонометрических функций.

Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Производная тангенса: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$y' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = -\sin x - \frac{1}{\cos^2 x}$

в) Дана функция $y = \frac{1}{2} \operatorname{tg} x$.

Для нахождения производной выносим постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак производной:

$y' = \left(\frac{1}{2} \operatorname{tg} x\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\operatorname{tg} x)'$

Используем табличное значение производной тангенса: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\cos^2 x}$

г) Дана функция $y = 2 \operatorname{tg} x - \sin x$.

Находим производную как производную разности двух функций:

$y' = (2 \operatorname{tg} x - \sin x)' = (2 \operatorname{tg} x)' - (\sin x)'$

Для первого слагаемого выносим константу 2 за знак производной и используем производную тангенса:

$(2 \operatorname{tg} x)' = 2 \cdot (\operatorname{tg} x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x}$

Для второго слагаемого находим производную синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

Подставляем найденные производные в исходное выражение:

$y' = \frac{2}{\cos^2 x} - \cos x$

Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} - \cos x$

234.- Найдите $f'(0)$ и $f'(\pi)$, если:

а) $f(x)=\frac{1}{2}\cos (2x-\pi);$

б) $f(x)=x-\operatorname{tg} (-2x);$

в) $f(x)=3\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right);$

г) $f(x)=2\cos \frac{x}{2}.$

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}\cos(2x - \pi)$.

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$.

$f(x) = \frac{1}{2}(-\cos(2x)) = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$f'(x) = \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\sin(2x) \cdot 2 = \sin(2x)$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(\pi) = 0$.

б) Дана функция $f(x) = x - \text{tg}(-2x)$.

Упростим выражение, используя свойство нечетности тангенса: $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.

$f(x) = x - (-\text{tg}(2x)) = x + \text{tg}(2x)$.

Найдем производную функции, используя правило суммы и правило дифференцирования сложной функции $(\text{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u'$.

$f'(x) = (x + \text{tg}(2x))' = (x)' + (\text{tg}(2x))' = 1 + \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = 1 + \frac{2}{\cos^2(2 \cdot 0)} = 1 + \frac{2}{\cos^2(0)} = 1 + \frac{2}{1^2} = 1 + 2 = 3$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = 1 + \frac{2}{\cos^2(2 \pi)} = 1 + \frac{2}{1^2} = 1 + 2 = 3$.

Ответ: $f'(0) = 3$, $f'(\pi) = 3$.

в) Дана функция $f(x) = 3\sin(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{2})$.

Упростим выражение для функции, используя формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\alpha)$.

$f(x) = 3 \cdot \left(-\cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) = -3\cos\left(\frac{x}{3}\right)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(-3\cos\left(\frac{x}{3}\right)\right)' = -3 \cdot \left(-\sin\left(\frac{x}{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = 3\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = \sin\left(\frac{0}{3}\right) = \sin(0) = 0$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Дана функция $f(x) = 2\cos\frac{x}{2}$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left(2\cos\frac{x}{2}\right)' = 2 \cdot \left(-\sin\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = -2\sin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\sin\frac{x}{2}$.

Далее вычислим значения производной в заданных точках.

При $x=0$:

$f'(0) = -\sin\left(\frac{0}{2}\right) = -\sin(0) = 0$.

При $x=\pi$:

$f'(\pi) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

Ответ: $f'(0) = 0$, $f'(\pi) = -1$.