Страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

241.— Является ли функция $f$ непрерывной в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$, если:

a) $f(x) = x^4 - x + 1;$

б) $f(x) = \begin{cases} x+1 \text{ при } x \le -1, \\ x^2-x \text{ при } x > -1; \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} 1-x^2 \text{ при } x < 0, \\ 5-2x \text{ при } x \ge 0; \end{cases}$

г) $f(x) = 2x - x^2 + x^3?$

Для того чтобы функция $f(x)$ была непрерывной в точке $x = a$, должны выполняться три условия:

1. Функция определена в точке $a$, то есть существует значение $f(a)$.
2. Существует предел функции в этой точке $\lim_{x \to a} f(x)$. Это означает, что односторонние пределы равны: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

а) $f(x) = x^4 - x + 1$

Данная функция является многочленом. Многочлены непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$, следовательно, функция непрерывна в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Проверим это по определению непрерывности.

Проверка в точке $x_1 = 0$:

1. Найдем значение функции в точке: $f(0) = 0^4 - 0 + 1 = 1$.

2. Найдем предел функции в точке: $\lim_{x \to 0} (x^4 - x + 1) = 0^4 - 0 + 1 = 1$.

3. Поскольку $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$, все три условия непрерывности выполнены. Значит, функция непрерывна в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

1. Найдем значение функции в точке: $f(-1) = (-1)^4 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

2. Найдем предел функции в точке: $\lim_{x \to -1} (x^4 - x + 1) = (-1)^4 - (-1) + 1 = 3$.

3. Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 3$, функция непрерывна в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция непрерывна в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

б) $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{при } x \le -1, \\ x^2-x & \text{при } x > -1; \end{cases}$

Проверка в точке $x_1 = 0$:

В окрестности точки $x=0$ (например, для $x>-1$) функция задается формулой $f(x) = x^2 - x$. Это многочлен, который непрерывен.

1. Значение функции: $f(0) = 0^2 - 0 = 0$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 - x) = 0$.

3. Так как $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

Это точка, где меняется определение функции, поэтому необходимо найти односторонние пределы.

1. Значение функции в точке (при $x=-1$ используется первая формула): $f(-1) = -1 + 1 = 0$.

2. Левосторонний предел (при $x \to -1^-$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x+1) = -1 + 1 = 0$.

3. Правосторонний предел (при $x \to -1^+$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2-x) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

4. Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (2), то предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_1 = 0$, но имеет разрыв в точке $x_2 = -1$.

в) $f(x) = \begin{cases} 1-x^2 & \text{при } x < 0, \\ 5-2x & \text{при } x \ge 0; \end{cases}$

Проверка в точке $x_1 = 0$:

Это точка, где меняется определение функции, поэтому необходимо найти односторонние пределы.

1. Значение функции в точке (при $x=0$ используется вторая формула): $f(0) = 5 - 2(0) = 5$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1-x^2) = 1 - 0^2 = 1$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (5-2x) = 5 - 2(0) = 5$.

4. Так как левосторонний предел (1) не равен правостороннему пределу (5), то предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

В окрестности точки $x=-1$ (например, для $x<0$) функция задается формулой $f(x) = 1 - x^2$. Это многочлен, который непрерывен.

1. Значение функции: $f(-1) = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (1-x^2) = 1 - (-1)^2 = 0$.

3. Так как $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 0$, функция непрерывна в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция имеет разрыв в точке $x_1 = 0$, но непрерывна в точке $x_2 = -1$.

г) $f(x) = 2x - x^2 + x^3$

Данная функция является многочленом и, следовательно, непрерывна на всей числовой прямой, включая точки $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверка в точке $x_1 = 0$:

1. Значение функции: $f(0) = 2(0) - 0^2 + 0^3 = 0$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to 0} (2x - x^2 + x^3) = 0$.

3. Так как $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

1. Значение функции: $f(-1) = 2(-1) - (-1)^2 + (-1)^3 = -2 - 1 - 1 = -4$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to -1} (2x - x^2 + x^3) = 2(-1) - (-1)^2 + (-1)^3 = -4$.

3. Так как $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = -4$, функция непрерывна в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция непрерывна в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

242. Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $f(x) = x^3 - 2x^2$;

б) $f(x) = \frac{x^3 + 27}{3x + x^2}$;

в) $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^3 - 8}$.

а) $f(x) = x^3 - 2x^2$

Данная функция является многочленом (полиномом). Областью определения любого многочлена является вся числовая прямая. Полиномиальные функции непрерывны на всей своей области определения.
Следовательно, функция $f(x) = x^3 - 2x^2$ непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ: Промежуток непрерывности $(-\infty; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{x^3 + 27}{3x + x^2}$

Данная функция является рациональной. Рациональная функция непрерывна во всех точках своей области определения. Область определения исключает значения переменной, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Эти точки являются точками разрыва.
Найдем нули знаменателя:
$3x + x^2 = 0$
$x(3 + x) = 0$
Отсюда получаем две точки разрыва: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Таким образом, функция непрерывна на всех интервалах, не содержащих эти точки.

Ответ: Промежутки непрерывности $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; +\infty)$.

в) $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4$

Данная функция является многочленом (полиномом). Все многочлены непрерывны на всей числовой прямой, так как их область определения — множество всех действительных чисел $R$.

Ответ: Промежуток непрерывности $(-\infty; +\infty)$.

г) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^3 - 8}$

Данная функция является рациональной и непрерывна везде, кроме точек, где ее знаменатель равен нулю.
Найдем нули знаменателя:
$x^3 - 8 = 0$
$x^3 = 8$
$x = \sqrt[3]{8}$
$x = 2$
Следовательно, функция имеет единственную точку разрыва $x = 2$. На всех остальных участках числовой прямой функция непрерывна.

Ответ: Промежутки непрерывности $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

243. Докажите, что данное уравнение имеет корень, принадлежащий отрезку [0; 1], и найдите его с точностью до 0,1:

а) $1,4 - 10x^2 - x^3 = 0;$

б) $1 + 2x^2 - 100x^4 = 0;$

в) $x^3 - 5x + 3 = 0;$

г) $x^4 + 2x - 0,5 = 0.$

а) $1.4 - 10x^2 - x^3 = 0$

Для доказательства существования корня на отрезке $[0; 1]$ рассмотрим функцию $f(x) = 1.4 - 10x^2 - x^3$. Эта функция является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой оси, включая отрезок $[0; 1]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:
$f(0) = 1.4 - 10 \cdot 0^2 - 0^3 = 1.4$
$f(1) = 1.4 - 10 \cdot 1^2 - 1^3 = 1.4 - 10 - 1 = -9.6$
Поскольку $f(0) > 0$ и $f(1) < 0$, согласно теореме о промежуточных значениях (теореме Больцано-Коши), существует по крайней мере одна точка $c \in (0, 1)$, в которой $f(c) = 0$. Таким образом, доказано, что уравнение имеет корень на отрезке $[0; 1]$.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$ будем подбирать значения $x$ из интервала $(0, 1)$ с шагом $0.1$.
$f(0.3) = 1.4 - 10 \cdot (0.3)^2 - (0.3)^3 = 1.4 - 10 \cdot 0.09 - 0.027 = 1.4 - 0.9 - 0.027 = 0.473 > 0$.
$f(0.4) = 1.4 - 10 \cdot (0.4)^2 - (0.4)^3 = 1.4 - 10 \cdot 0.16 - 0.064 = 1.4 - 1.6 - 0.064 = -0.264 < 0$.
Так как на концах отрезка $[0.3, 0.4]$ функция принимает значения разных знаков, корень уравнения находится в интервале $(0.3, 0.4)$. Длина этого интервала равна $0.4 - 0.3 = 0.1$, что удовлетворяет требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.3, 0.4)$, приближенное значение корня $x \approx 0.37$.

б) $1 + 2x^2 - 100x^4 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = 1 + 2x^2 - 100x^4$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. Найдем ее значения на концах отрезка:
$f(0) = 1 + 2 \cdot 0^2 - 100 \cdot 0^4 = 1 > 0$
$f(1) = 1 + 2 \cdot 1^2 - 100 \cdot 1^4 = 1 + 2 - 100 = -97 < 0$
Поскольку $f(0) > 0$ и $f(1) < 0$, по теореме Больцано-Коши, на интервале $(0, 1)$ существует корень уравнения.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$, будем проверять значения функции в точках интервала $(0,1)$.
$f(0.3) = 1 + 2(0.3)^2 - 100(0.3)^4 = 1 + 2(0.09) - 100(0.0081) = 1 + 0.18 - 0.81 = 0.37 > 0$.
$f(0.4) = 1 + 2(0.4)^2 - 100(0.4)^4 = 1 + 2(0.16) - 100(0.0256) = 1 + 0.32 - 2.56 = -1.24 < 0$.
Корень находится в интервале $(0.3, 0.4)$, длина которого $0.1$. Это соответствует требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.3, 0.4)$, приближенное значение корня $x \approx 0.33$.

в) $x^3 - 5x + 3 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 5x + 3$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. Найдем ее значения на концах отрезка:
$f(0) = 0^3 - 5 \cdot 0 + 3 = 3 > 0$
$f(1) = 1^3 - 5 \cdot 1 + 3 = 1 - 5 + 3 = -1 < 0$
Поскольку $f(0) > 0$ и $f(1) < 0$, по теореме Больцано-Коши, на интервале $(0, 1)$ существует корень уравнения.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$, будем проверять значения функции в точках интервала $(0,1)$.
$f(0.6) = (0.6)^3 - 5(0.6) + 3 = 0.216 - 3 + 3 = 0.216 > 0$.
$f(0.7) = (0.7)^3 - 5(0.7) + 3 = 0.343 - 3.5 + 3 = -0.157 < 0$.
Корень находится в интервале $(0.6, 0.7)$, длина которого $0.1$. Это соответствует требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.6, 0.7)$, приближенное значение корня $x \approx 0.66$.

г) $x^4 + 2x - 0.5 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 + 2x - 0.5$. Функция непрерывна на отрезке $[0; 1]$. Найдем ее значения на концах отрезка:
$f(0) = 0^4 + 2 \cdot 0 - 0.5 = -0.5 < 0$
$f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1 - 0.5 = 1 + 2 - 0.5 = 2.5 > 0$
Поскольку $f(0) < 0$ и $f(1) > 0$, по теореме Больцано-Коши, на интервале $(0, 1)$ существует корень уравнения.

Для нахождения корня с точностью до $0.1$, будем проверять значения функции в точках интервала $(0,1)$.
$f(0.2) = (0.2)^4 + 2(0.2) - 0.5 = 0.0016 + 0.4 - 0.5 = -0.0984 < 0$.
$f(0.3) = (0.3)^4 + 2(0.3) - 0.5 = 0.0081 + 0.6 - 0.5 = 0.1081 > 0$.
Корень находится в интервале $(0.2, 0.3)$, длина которого $0.1$. Это соответствует требуемой точности.

Ответ: Корень уравнения принадлежит интервалу $(0.2, 0.3)$, приближенное значение корня $x \approx 0.25$.

Решите неравенства (244–245).

244. а) $x^2 - 5x + 4 > 0;$

б) $\frac{x + 3}{x^2 + 4x - 5} \ge 0;$

в) $x^2 - 3x - 4 \le 0;$

г) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} < 0.$

а) $x^2 - 5x + 4 > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = 4$
Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $(x - 1)(x - 4) > 0$.
Это неравенство можно решить методом интервалов. Нанесем на числовую ось точки $x=1$ и $x=4$. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x - 4)$ в каждом интервале:
- При $x > 4$ (например, $x=5$), выражение $(5-1)(5-4) = 4 > 0$. Знак "+".
- При $1 < x < 4$ (например, $x=2$), выражение $(2-1)(2-4) = -2 < 0$. Знак "-".
- При $x < 1$ (например, $x=0$), выражение $(0-1)(0-4) = 4 > 0$. Знак "+".
Поскольку неравенство имеет вид $> 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+".
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) $\frac{x+3}{x^2+4x-5} \ge 0$

Это рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.
1. Найдем нули числителя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Эта точка будет включена в решение, так как неравенство нестрогое.
2. Найдем нули знаменателя: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Эти точки будут исключены из решения (знаменатель не может быть равен нулю).
По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
3. Запишем неравенство в виде $\frac{x+3}{(x-1)(x+5)} \ge 0$.
4. Нанесем на числовую ось точки -5, -3 и 1. Точка $x=-3$ будет закрашенной, а точки $x=-5$ и $x=1$ — выколотыми.
Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3]$, $[-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.
5. Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2+3}{(2-1)(2+5)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
- При $-3 \le x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{(0-1)(0+5)} = \frac{+}{(-)(+)} < 0$. Знак "-".
- При $-5 < x \le -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{(-4-1)(-4+5)} = \frac{-}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{-6+3}{(-6-1)(-6+5)} = \frac{-}{(-)(-)} < 0$. Знак "-".
Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-5; -3] \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -3] \cup (1; +\infty)$.

в) $x^2 - 3x - 4 \le 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$
$x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$
Разложим трехчлен на множители: $(x - 4)(x + 1) \le 0$.
Функция $y = x^2 - 3x - 4$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства находится в промежутке от -1 до 4.
$-1 \le x \le 4$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$.

г) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} < 0$

Это рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.
1. Разложим на множители числитель $x^2 - 7x + 6$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 6. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Тогда $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.
2. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} < 0$.
3. Найдем нули числителя ($x=1$, $x=6$) и знаменателя ($x=2$).
4. Нанесем эти точки на числовую ось. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=2$ не входит в область определения.
Точки 1, 2, 6 разбивают ось на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; +\infty)$.
5. Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(7-1)(7-6)}{7-2} = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".
- При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{(3-1)(3-6)}{3-2} = \frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Знак "-".
- При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(1.5-1)(1.5-6)}{1.5-2} = \frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак "+".
- При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(0-1)(0-6)}{0-2} = \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак "-".
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 6)$.

245. a) $\frac{(x-2)(x-4)}{x^2 + 2x - 3} \ge 0;$

б) $\frac{8}{x^2 - 6x + 8} < 1;$

в) $\frac{2x^2 + 5x}{x^2 + 5x + 4} \ge 1;$

г) $\frac{x^2 - 2x - 3}{(x+3)(x-4)} < 0.$

a) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x-4)}{x^2+2x-3} \ge 0$.

Сначала разложим на множители знаменатель. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, знаменатель можно представить в виде $(x-1)(x+3)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+3)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (точки, которые могут входить в решение): $x=2$ и $x=4$.
Нули знаменателя (точки, которые всегда исключаются из решения): $x=1$ и $x=-3$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

---(+)---$(-3)$---(-)---$(1)$---(+)---$[2]$---(-)---$[4]$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы, где выражение не отрицательно (больше или равно нулю). Это интервалы со знаком "+", включая закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{8}{x^2-6x+8} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{8}{x^2-6x+8} - 1 < 0$

$\frac{8 - (x^2-6x+8)}{x^2-6x+8} < 0$

$\frac{-x^2+6x}{x^2-6x+8} < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2-6x}{x^2-6x+8} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2-6x = x(x-6)$. Нули: $x=0$, $x=6$.
Знаменатель: $x^2-6x+8=0$. По теореме Виета, корни $x=2$ и $x=4$. Знаменатель равен $(x-2)(x-4)$. Нули: $x=2$, $x=4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x-6)}{(x-2)(x-4)} > 0$.

Применим метод интервалов. Все точки будут выколоты, так как неравенство строгое. Точки: 0, 2, 4, 6.

---(+)---$(0)$---(-)---$(2)$---(+)---$(4)$---(-)---$(6)$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы, где выражение положительно (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2x^2+5x}{x^2+5x+4} \ge 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x^2+5x - (x^2+5x+4)}{x^2+5x+4} \ge 0$

$\frac{2x^2+5x - x^2-5x-4}{x^2+5x+4} \ge 0$

$\frac{x^2-4}{x^2+5x+4} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Нули: $x=2$, $x=-2$.
Знаменатель: $x^2+5x+4=0$. По теореме Виета, корни $x=-1$ и $x=-4$. Знаменатель равен $(x+1)(x+4)$. Нули: $x=-1$, $x=-4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+4)} \ge 0$.

Применим метод интервалов. Нули числителя (-2, 2) будут закрашенными, нули знаменателя (-4, -1) - выколотыми. Точки: -4, -2, -1, 2.

---(+)---$(-4)$---(-)---$[-2]$---(+)---$(-1)$---(-)---$[2]$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы со знаком "+", включая закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [-2, -1) \cup [2, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2-2x-3}{(x+3)(x-4)} < 0$.

Разложим на множители числитель. Решим уравнение $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, числитель равен $(x-3)(x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-4)} < 0$

Применим метод интервалов. Все точки будут выколоты, так как неравенство строгое. Нули числителя и знаменателя: -3, -1, 3, 4.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки:

---(+)---$(-3)$---(-)---$(-1)$---(+)---$(3)$---(-)---$(4)$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно (со знаком "-").

Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (3, 4)$.

246.- Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \sqrt{x - \frac{4}{x-3}}$;

б) $f(x) = \sqrt{\frac{3}{x^2-4} + 1}$;

в) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 7x + 12}{x}}$;

г) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{8}{x^2-1}}$.

а) $f(x) = \sqrt{x - \frac{4}{x-3}}$

Область определения функции задается двумя условиями: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. $x - \frac{4}{x-3} \ge 0$

2. $x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$

Решим первое неравенство. Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{x(x-3) - 4}{x-3} \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x - 4}{x-3} \ge 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Разложим числитель на множители: $(x-4)(x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-4)(x+1)}{x-3} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль: $x = -1$, $x = 3$, $x = 4$. Точки $x = -1$ и $x = 4$ будут закрашенными (входят в решение), а точка $x = 3$ — выколотой (не входит в решение).

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -1]$, $[-1, 3)$, $(3, 4]$, $[4, \infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (3, 4]$ (например, $x=3.5$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-1, 3)$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \le -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.

Ответ: $x \in [-1, 3) \cup [4, \infty)$.

б) $f(x) = \sqrt{\frac{3}{x^2-4} + 1}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и неравенством нулю знаменателя.

1. $\frac{3}{x^2-4} + 1 \ge 0$

2. $x^2 - 4 \ne 0 \implies (x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Решим первое неравенство, приведя к общему знаменателю:

$\frac{3 + (x^2-4)}{x^2-4} \ge 0$

$\frac{x^2-1}{x^2-4} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя: $x = 1$, $x = -1$. Корни знаменателя: $x = 2$, $x = -2$.

Отметим точки на числовой оси: $-2, -1, 1, 2$. Точки $-1, 1$ закрашенные, точки $-2, 2$ выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1]$, $[-1, 1]$, $[1, 2)$, $(2, \infty)$.

• При $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (1, 2)$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-1, 1]$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} \ge 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-2, -1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$.

в) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2+7x+12}{x}}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и неравенством нулю знаменателя.

1. $\frac{x^2+7x+12}{x} \ge 0$

2. $x \ne 0$

Найдем корни числителя: $x^2+7x+12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.

Разложим числитель на множители: $(x+4)(x+3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+4)(x+3)}{x} \ge 0$

Решим методом интервалов. Критические точки: $-4, -3, 0$. Точки $-4, -3$ закрашенные, точка $0$ выколотая.

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -4]$, $[-4, -3]$, $[-3, 0)$, $(0, \infty)$.

• При $x > 0$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in [-3, 0)$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-4, -3]$: $\frac{(-)(+)}{(-)} \ge 0$. Интервал подходит.
• При $x \le -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)} \le 0$. Интервал не подходит.

Собираем решения.

Ответ: $x \in [-4, -3] \cup (0, \infty)$.

г) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{8}{x^2-1}}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и неравенством нулю знаменателя.

1. $1 - \frac{8}{x^2-1} \ge 0$

2. $x^2-1 \ne 0 \implies (x-1)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Решим первое неравенство:

$\frac{(x^2-1) - 8}{x^2-1} \ge 0$

$\frac{x^2-9}{x^2-1} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+1)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Критические точки: $-3, -1, 1, 3$. Точки $-3, 3$ закрашенные, точки $-1, 1$ выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -3]$, $[-3, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 3]$, $[3, \infty)$.

• При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (1, 3]$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (-1, 1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in [-3, -1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \le -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} \ge 0$. Интервал подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 1) \cup [3, \infty)$.

247.— При каких значениях m функция f непрерывна на всей числовой прямой, если:

a) $f(x) = \begin{cases} 4 - x & \text{при } x < 4, \\ (x - m)^2 & \text{при } x \ge 4; \end{cases}$

б) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^2 - m};$

в) $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + m & \text{при } x \le 0, \\ x + 2 & \text{при } x > 0; \end{cases}$

г) $f(x) = \frac{5 - x}{x^4 + m} ?$

Для того чтобы функция $f$ была непрерывна на всей числовой прямой, она должна быть непрерывна в каждой точке этой прямой.

а) $f(x) = \begin{cases} 4-x & \text{при } x < 4, \\ (x-m)^2 & \text{при } x \ge 4 \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. На интервале $(-\infty, 4)$ функция $f(x) = 4-x$ является линейной и, следовательно, непрерывной. На полуинтервале $[4, +\infty)$ функция $f(x) = (x-m)^2$ является квадратичной и также непрерывна. Единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться, — это точка $x=4$, где меняется аналитическое выражение функции.

Для того чтобы функция была непрерывной в точке $x=4$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева в этой точке был равен пределу справа и значению функции в этой точке: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)$.

Найдем односторонние пределы:
Предел слева: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (4-x) = 4-4 = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (x-m)^2 = (4-m)^2$.

Значение функции в точке $x=4$ также равно $f(4) = (4-m)^2$. Приравниваем односторонние пределы, чтобы обеспечить непрерывность:
$(4-m)^2 = 0$

Отсюда следует, что $4-m = 0$, то есть $m=4$.
Ответ: $m=4$.

б) $f(x) = \frac{x^2-3x}{x^2-m}$

Данная функция является рациональной. Рациональная функция непрерывна на всей своей области определения, то есть везде, где её знаменатель не обращается в ноль. Чтобы функция была непрерывна на всей числовой прямой, знаменатель $x^2 - m$ не должен быть равен нулю ни при каких действительных значениях $x$.

Рассмотрим уравнение $x^2 - m = 0$, или $x^2 = m$. Это уравнение не должно иметь действительных корней.

Уравнение вида $x^2 = a$ не имеет действительных корней, если правая часть $a$ отрицательна. В нашем случае $a=m$. Следовательно, для отсутствия действительных корней необходимо, чтобы $m < 0$.

Если $m \ge 0$, то уравнение $x^2=m$ будет иметь хотя бы один действительный корень ($x=0$ при $m=0$; $x=\pm\sqrt{m}$ при $m>0$), и в этих точках функция будет иметь разрыв.
Ответ: $m < 0$.

в) $f(x) = \begin{cases} 3x^2+m & \text{при } x \le 0, \\ x+2 & \text{при } x > 0 \end{cases}$

Эта функция, как и в пункте а), является кусочно-заданной. На интервалах $(-\infty, 0]$ и $(0, +\infty)$ она задана непрерывными функциями (квадратичной и линейной соответственно). Точкой возможного разрыва является $x=0$.

Для непрерывности в точке $x=0$ необходимо выполнение условия равенства односторонних пределов: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$.

Найдем односторонние пределы:
Предел слева (совпадает со значением функции в точке $f(0)$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (3x^2+m) = 3(0)^2+m = m$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+2) = 0+2 = 2$.

Приравниваем пределы:
$m = 2$.
При $m=2$ функция непрерывна в точке $x=0$ и, следовательно, на всей числовой прямой.
Ответ: $m=2$.

г) $f(x) = \frac{5-x}{x^4+m}$

Это рациональная функция. Для того чтобы она была непрерывна на всей числовой прямой, её знаменатель $x^4 + m$ не должен обращаться в ноль ни при каких действительных значениях $x$.

Рассмотрим уравнение $x^4 + m = 0$, или $x^4 = -m$. Это уравнение не должно иметь действительных корней.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$. Чтобы уравнение $x^4 = -m$ не имело действительных решений, его правая часть $(-m)$ должна быть строго отрицательной. Если $-m \ge 0$, то корень $x = \pm\sqrt[4]{-m}$ будет существовать.

Итак, требуем выполнения неравенства:
$-m < 0$
Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства, получаем:
$m > 0$.
При $m > 0$ знаменатель $x^4+m$ всегда будет положительным (как сумма неотрицательного и положительного числа) и никогда не будет равен нулю.
Ответ: $m > 0$.