Номер 244, страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 244, страница 128.

Условие.

Решите неравенства (244–245).

244. а) $x^2 - 5x + 4 > 0;$

б) $\frac{x + 3}{x^2 + 4x - 5} \ge 0;$

в) $x^2 - 3x - 4 \le 0;$

г) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} < 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 - 5x + 4 > 0$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = 4$
Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители: $(x - 1)(x - 4) > 0$.
Это неравенство можно решить методом интервалов. Нанесем на числовую ось точки $x=1$ и $x=4$. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x - 1)(x - 4)$ в каждом интервале:
- При $x > 4$ (например, $x=5$), выражение $(5-1)(5-4) = 4 > 0$. Знак "+".
- При $1 < x < 4$ (например, $x=2$), выражение $(2-1)(2-4) = -2 < 0$. Знак "-".
- При $x < 1$ (например, $x=0$), выражение $(0-1)(0-4) = 4 > 0$. Знак "+".
Поскольку неравенство имеет вид $> 0$, нас интересуют интервалы со знаком "+".
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) $\frac{x+3}{x^2+4x-5} \ge 0$

Это рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.
1. Найдем нули числителя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Эта точка будет включена в решение, так как неравенство нестрогое.
2. Найдем нули знаменателя: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Эти точки будут исключены из решения (знаменатель не может быть равен нулю).
По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -5. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$.
3. Запишем неравенство в виде $\frac{x+3}{(x-1)(x+5)} \ge 0$.
4. Нанесем на числовую ось точки -5, -3 и 1. Точка $x=-3$ будет закрашенной, а точки $x=-5$ и $x=1$ — выколотыми.
Эти точки разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -3]$, $[-3; 1)$ и $(1; +\infty)$.
5. Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2+3}{(2-1)(2+5)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
- При $-3 \le x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{(0-1)(0+5)} = \frac{+}{(-)(+)} < 0$. Знак "-".
- При $-5 < x \le -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{(-4-1)(-4+5)} = \frac{-}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{-6+3}{(-6-1)(-6+5)} = \frac{-}{(-)(-)} < 0$. Знак "-".
Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-5; -3] \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; -3] \cup (1; +\infty)$.

в) $x^2 - 3x - 4 \le 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
$x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$
$x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$
Разложим трехчлен на множители: $(x - 4)(x + 1) \le 0$.
Функция $y = x^2 - 3x - 4$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю между корнями (включая сами корни).
Таким образом, решение неравенства находится в промежутке от -1 до 4.
$-1 \le x \le 4$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$.

г) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} < 0$

Это рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.
1. Разложим на множители числитель $x^2 - 7x + 6$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 6. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Тогда $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.
2. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-6)}{x-2} < 0$.
3. Найдем нули числителя ($x=1$, $x=6$) и знаменателя ($x=2$).
4. Нанесем эти точки на числовую ось. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=2$ не входит в область определения.
Точки 1, 2, 6 разбивают ось на интервалы: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; +\infty)$.
5. Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(7-1)(7-6)}{7-2} = \frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".
- При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{(3-1)(3-6)}{3-2} = \frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Знак "-".
- При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(1.5-1)(1.5-6)}{1.5-2} = \frac{(+)(-)}{(-)} > 0$. Знак "+".
- При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(0-1)(0-6)}{0-2} = \frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак "-".
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-").
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; 6)$.