Номер 250, страница 129 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 250, страница 129.

Условие.

250. Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \sqrt{9x - x^3};$

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - \frac{8}{x}};$

в) $f(x) = \sqrt{16x - x^3};$

г) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{27}{x^3}}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Область определения функции $f(x) = \sqrt{9x - x^3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$9x - x^3 \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(9 - x^2) \ge 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$x(3 - x)(3 + x) \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения $x(3 - x)(3 + x)$: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 0]$, $[0, 3]$, $[3, +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x=-4$): $(-4)(3 - (-4))(3 + (-4)) = (-4)(7)(-1) = 28 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (-3, 0)$ (например, $x=-1$): $(-1)(3 - (-1))(3 + (-1)) = (-1)(4)(2) = -8 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (0, 3)$ (например, $x=1$): $(1)(3 - 1)(3 + 1) = (1)(2)(4) = 8 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x=4$): $(4)(3 - 4)(3 + 4) = (4)(-1)(7) = -28 < 0$. Интервал не подходит.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x = -3$, $x = 0$ и $x = 3$ включаются в решение.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, -3] \cup [0, 3]$.

б) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - \frac{8}{x}}$ находится из двух условий:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - \frac{8}{x} \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
Решим неравенство, приведя выражение к общему знаменателю:
$\frac{x^3 - 8}{x} \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
Найдем нули знаменателя: $x = 0$. Эта точка будет выколотой, так как на ноль делить нельзя.
Отметим точки $x=0$ и $x=2$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2]$, $[2, +\infty)$.
Определим знак дроби $\frac{x^3 - 8}{x}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^3 - 8}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (0, 2)$ (например, $x=1$): $\frac{1^3 - 8}{1} = -7 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (2, +\infty)$ (например, $x=3$): $\frac{3^3 - 8}{3} = \frac{19}{3} > 0$. Интервал подходит.
Точка $x=2$ является решением (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ не является решением.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$.

в) Область определения функции $f(x) = \sqrt{16x - x^3}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$16x - x^3 \ge 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(16 - x^2) \ge 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$x(4 - x)(4 + x) \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни выражения: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 4$.
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -4]$, $[-4, 0]$, $[0, 4]$, $[4, +\infty)$.
Определим знак выражения $x(4 - x)(4 + x)$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -4)$ (например, $x=-5$): $(-5)(4 - (-5))(4 + (-5)) = (-5)(9)(-1) = 45 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (-4, 0)$ (например, $x=-1$): $(-1)(4 - (-1))(4 + (-1)) = (-1)(5)(3) = -15 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (0, 4)$ (например, $x=1$): $(1)(4 - 1)(4 + 1) = (1)(3)(5) = 15 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (4, +\infty)$ (например, $x=5$): $(5)(4 - 5)(4 + 5) = (5)(-1)(9) = -45 < 0$. Интервал не подходит.
Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x = -4$, $x = 0$ и $x = 4$ включаются в решение.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, -4] \cup [0, 4]$.

г) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - \frac{27}{x^3}}$ находится из двух условий:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - \frac{27}{x^3} \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$.
Решим неравенство, приведя выражение к общему знаменателю:
$\frac{x^3 - 27}{x^3} \ge 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя: $x^3 - 27 = 0 \Rightarrow x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$.
Найдем нули знаменателя: $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$. Эта точка будет выколотой.
Отметим точки $x=0$ и $x=3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3]$, $[3, +\infty)$.
Определим знак дроби $\frac{x^3 - 27}{x^3}$ на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{(-1)^3 - 27}{(-1)^3} = \frac{-28}{-1} = 28 > 0$. Интервал подходит.
- При $x \in (0, 3)$ (например, $x=1$): $\frac{1^3 - 27}{1^3} = -26 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x \in (3, +\infty)$ (например, $x=4$): $\frac{4^3 - 27}{4^3} = \frac{37}{64} > 0$. Интервал подходит.
Точка $x=3$ является решением (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ не является решением.
Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty, 0) \cup [3, +\infty)$.