Номер 248, страница 129 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 248, страница 129.

Условие.

Решите неравенства (248–249).

248.—

а) $x^4 - 10x^2 + 9 \leq 0;$

б) $x^4 - 8 \geq 7x^2;$

в) $x^4 - 5x^2 + 6 > 0;$

г) $5x^2 - 4 > x^4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^4 - 10x^2 + 9 \le 0$

Данное неравенство является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 10t + 9 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Графиком функции $y = t^2 - 10t + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$1 \le t \le 9$

Это решение удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2$ вместо $t$:

$1 \le x^2 \le 9$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge 1 \\ x^2 \le 9 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 1 \Rightarrow x^2 - 1 \ge 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ge 0$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 9 \Rightarrow x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \le 0$. Решением является отрезок $[-3, 3]$.

Итоговое решение для $x$ является пересечением решений этих двух неравенств: $[-3, 3] \cap ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$.

Пересечение дает нам два отрезка: $[-3, -1]$ и $[1, 3]$.

Ответ: $x \in [-3, -1] \cup [1, 3]$.

б) $x^4 - 8 \ge 7x^2$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^4 - 7x^2 - 8 \ge 0$

Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 7t - 8 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 7t - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{2}$

Корни: $t_1 = \frac{7+9}{2} = 8$ и $t_2 = \frac{7-9}{2} = -1$.

Парабола $y = t^2 - 7t - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому значения функции не отрицательны (больше или равны нулю) при $t \le -1$ или $t \ge 8$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, из найденных решений нам подходит только $t \ge 8$ (так как $t \le -1$ не удовлетворяет $t \ge 0$).

Выполним обратную замену:

$x^2 \ge 8$

Это неравенство равносильно $x^2 - 8 \ge 0$, или $(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8}) \ge 0$.

Упростив корень, получаем $(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}, \infty)$.

в) $x^4 - 5x^2 + 6 > 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 6 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t < 2$ или $t > 3$.

С учетом условия $t \ge 0$, получаем два случая для $t$:

1) $0 \le t < 2$

2) $t > 3$

Выполним обратную замену для каждого случая:

1) $0 \le x^2 < 2$. Неравенство $x^2 \ge 0$ верно для всех $x$. Решаем $x^2 < 2 \Rightarrow x^2 - 2 < 0 \Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) < 0$. Решение: $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2) $x^2 > 3$. Решаем $x^2 - 3 > 0 \Rightarrow (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) > 0$. Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Общее решение является объединением решений этих двух случаев.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

г) $5x^2 - 4 > x^4$

Перепишем неравенство в стандартном виде:

$x^4 - 5x^2 + 4 < 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 4$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится между корнями:

$1 < t < 4$

Данный интервал удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$1 < x^2 < 4$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 1 \Rightarrow x^2 - 1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0$. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 4 \Rightarrow x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) < 0$. Решение: $x \in (-2, 2)$.

Найдем пересечение этих решений: $ ((-2, 2)) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, \infty))$.

Пересечение дает объединение двух интервалов: $(-2, -1)$ и $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.