Номер 253, страница 132 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 253, страница 132.

Условие.

Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку M графика функции f (253–254).

253.-a) $f(x) = x^2, M(-3; 9);$б) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x, M(2; \frac{2}{3});$в) $f(x) = x^3, M(-1; -1);$г) $f(x) = x^2 + 2x, M(1; 3).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс (оси Ox) в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f(x)$ в этой точке. Это следует из геометрического смысла производной: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $k$ - угловой коэффициент касательной, а $\alpha$ - угол ее наклона к положительному направлению оси абсцисс.

а)

Дана функция $f(x) = x^2$ и точка касания $M(-3; 9)$. Абсцисса точки касания $x_0 = -3$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2)' = 2x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -3$:

$f'(-3) = 2 \cdot (-3) = -6$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(-3; 9)$ равен -6.

Ответ: -6.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ и точка касания $M(2; \frac{2}{3})$. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(2; \frac{2}{3})$ равен 3.

Ответ: 3.

в)

Дана функция $f(x) = x^3$ и точка касания $M(-1; -1)$. Абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(-1; -1)$ равен 3.

Ответ: 3.

г)

Дана функция $f(x) = x^2 + 2x$ и точка касания $M(1; 3)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + (2x)' = 2x + 2$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(1; 3)$ равен 4.

Ответ: 4.