Страница 132 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

251.— В каких точках графика функции $f$ (рис. 97) касательная

к нему:

а) горизонтальна;

б) образует с осью абсцисс острый угол;

в) образует с осью абсцисс тупой угол?

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox): $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Поскольку сам график функции (рис. 97) не представлен, мы дадим общее описание для каждого случая, основываясь на этом свойстве.

а) горизонтальна;

Горизонтальная прямая параллельна оси абсцисс, поэтому угол наклона $\alpha$ равен $0^\circ$ или $180^\circ$. В обоих случаях тангенс угла наклона равен нулю: $\tan(0^\circ) = 0$.

Следовательно, угловой коэффициент касательной $k$ равен 0, а это значит, что и производная функции в точке касания должна быть равна нулю: $f'(x) = 0$.

На графике функции это точки локальных экстремумов (точки максимума и минимума), то есть "вершины" и "впадины" графика.

Ответ: Касательная к графику функции горизонтальна в точках локальных максимумов и минимумов, где производная функции равна нулю ($f'(x) = 0$).

б) образует с осью абсцисс острый угол;

Острый угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Тангенс острого угла всегда положителен: $\tan(\alpha) > 0$.

Это означает, что угловой коэффициент касательной $k$ должен быть положительным, а значит, и производная функции в точке касания должна быть положительной: $f'(x) > 0$.

На графике это точки, принадлежащие интервалам возрастания функции (где график идет вверх, если смотреть слева направо).

Ответ: Касательная образует с осью абсцисс острый угол в точках, принадлежащих интервалам возрастания функции, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$).

в) образует с осью абсцисс тупой угол?

Тупой угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Тангенс тупого угла всегда отрицателен: $\tan(\alpha) < 0$.

Это означает, что угловой коэффициент касательной $k$ должен быть отрицательным, а значит, и производная функции в точке касания должна быть отрицательной: $f'(x) < 0$.

На графике это точки, принадлежащие интервалам убывания функции (где график идет вниз, если смотреть слева направо).

Ответ: Касательная образует с осью абсцисс тупой угол в точках, принадлежащих интервалам убывания функции, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

252. При каких значениях аргумента (отмеченных на оси абсцисс) производная функции, заданной графиком (рис. 98):

а) равна нулю;

б) больше нуля;

в) меньше нуля?

а)

б)

в)

г)

Рис. 97

а)

б)

в)

г)

Рис. 98

Для ответа на вопрос проанализируем поведение функции на каждом из графиков (рис. 98), используя геометрический смысл производной. Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$.

• Если функция возрастает, то касательная к графику направлена вверх, и производная в этой точке положительна: $f'(x) > 0$.
• Если функция убывает, то касательная направлена вниз, и производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
• В точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов) и на участках, где функция является константой (горизонтальная линия), касательная горизонтальна, следовательно, производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

а) равна нулю;

Производная функции равна нулю в точках, которые являются локальными экстремумами (вершины и впадины на графике) или находятся на участках, где функция постоянна.

• На графике а): в точке $b$ (точка локального минимума) и в точке $d$ (точка локального максимума).
• На графике б): в точке $b$ (точка локального максимума) и в точке $d$ (находится на участке, где функция постоянна).
• На графике в): в точках $a$ и $b$ (находятся на участке, где функция постоянна) и в точке $d$ (точка локального минимума).
• На графике г): в точке $b$ (точка локального минимума) и в точке $d$ (точка локального максимума).

Ответ: на графике а) в точках $b, d$; на графике б) в точках $b, d$; на графике в) в точках $a, b, d$; на графике г) в точках $b, d$.

б) больше нуля;

Производная функции больше нуля в точках, которые находятся на интервалах возрастания функции (где график идет вверх при движении слева направо).

• На графике а): в точках $a$ и $c$.
• На графике б): в точках $a$ и $e$.
• На графике в): в точке $e$.
• На графике г): в точке $c$.

Ответ: на графике а) в точках $a, c$; на графике б) в точках $a, e$; на графике в) в точке $e$; на графике г) в точке $c$.

в) меньше нуля?

Производная функции меньше нуля в точках, которые находятся на интервалах убывания функции (где график идет вниз при движении слева направо).

• На графике а): в точке $e$.
• На графике б): в точке $c$.
• На графике в): в точке $c$.
• На графике г): в точках $a$ и $e$.

Ответ: на графике а) в точке $e$; на графике б) в точке $c$; на графике в) в точке $c$; на графике г) в точках $a, e$.

Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку M графика функции f (253–254).

253.-a) $f(x) = x^2, M(-3; 9);$б) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x, M(2; \frac{2}{3});$в) $f(x) = x^3, M(-1; -1);$г) $f(x) = x^2 + 2x, M(1; 3).$

Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс (оси Ox) в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f(x)$ в этой точке. Это следует из геометрического смысла производной: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$, где $k$ - угловой коэффициент касательной, а $\alpha$ - угол ее наклона к положительному направлению оси абсцисс.

а)

Дана функция $f(x) = x^2$ и точка касания $M(-3; 9)$. Абсцисса точки касания $x_0 = -3$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2)' = 2x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -3$:

$f'(-3) = 2 \cdot (-3) = -6$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(-3; 9)$ равен -6.

Ответ: -6.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ и точка касания $M(2; \frac{2}{3})$. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = x^2 - 1$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(2; \frac{2}{3})$ равен 3.

Ответ: 3.

в)

Дана функция $f(x) = x^3$ и точка касания $M(-1; -1)$. Абсцисса точки касания $x_0 = -1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(-1; -1)$ равен 3.

Ответ: 3.

г)

Дана функция $f(x) = x^2 + 2x$ и точка касания $M(1; 3)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + (2x)' = 2x + 2$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 2 = 4$.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной в точке $M(1; 3)$ равен 4.

Ответ: 4.