Номер 252, страница 132 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 252, страница 132.

Условие.

252. При каких значениях аргумента (отмеченных на оси абсцисс) производная функции, заданной графиком (рис. 98):

а) равна нулю;

б) больше нуля;

в) меньше нуля?

а)

б)

в)

г)

Рис. 97

а)

б)

в)

г)

Рис. 98

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для ответа на вопрос проанализируем поведение функции на каждом из графиков (рис. 98), используя геометрический смысл производной. Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$.

• Если функция возрастает, то касательная к графику направлена вверх, и производная в этой точке положительна: $f'(x) > 0$.
• Если функция убывает, то касательная направлена вниз, и производная отрицательна: $f'(x) < 0$.
• В точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов) и на участках, где функция является константой (горизонтальная линия), касательная горизонтальна, следовательно, производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

а) равна нулю;

Производная функции равна нулю в точках, которые являются локальными экстремумами (вершины и впадины на графике) или находятся на участках, где функция постоянна.

• На графике а): в точке $b$ (точка локального минимума) и в точке $d$ (точка локального максимума).
• На графике б): в точке $b$ (точка локального максимума) и в точке $d$ (находится на участке, где функция постоянна).
• На графике в): в точках $a$ и $b$ (находятся на участке, где функция постоянна) и в точке $d$ (точка локального минимума).
• На графике г): в точке $b$ (точка локального минимума) и в точке $d$ (точка локального максимума).

Ответ: на графике а) в точках $b, d$; на графике б) в точках $b, d$; на графике в) в точках $a, b, d$; на графике г) в точках $b, d$.

б) больше нуля;

Производная функции больше нуля в точках, которые находятся на интервалах возрастания функции (где график идет вверх при движении слева направо).

• На графике а): в точках $a$ и $c$.
• На графике б): в точках $a$ и $e$.
• На графике в): в точке $e$.
• На графике г): в точке $c$.

Ответ: на графике а) в точках $a, c$; на графике б) в точках $a, e$; на графике в) в точке $e$; на графике г) в точке $c$.

в) меньше нуля?

Производная функции меньше нуля в точках, которые находятся на интервалах убывания функции (где график идет вниз при движении слева направо).

• На графике а): в точке $e$.
• На графике б): в точке $c$.
• На графике в): в точке $c$.
• На графике г): в точках $a$ и $e$.

Ответ: на графике а) в точке $e$; на графике б) в точке $c$; на графике в) в точке $c$; на графике г) в точках $a, e$.