Номер 245, страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 245, страница 128.

Условие.

245. a) $\frac{(x-2)(x-4)}{x^2 + 2x - 3} \ge 0;$

б) $\frac{8}{x^2 - 6x + 8} < 1;$

в) $\frac{2x^2 + 5x}{x^2 + 5x + 4} \ge 1;$

г) $\frac{x^2 - 2x - 3}{(x+3)(x-4)} < 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x-4)}{x^2+2x-3} \ge 0$.

Сначала разложим на множители знаменатель. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, знаменатель можно представить в виде $(x-1)(x+3)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+3)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя (точки, которые могут входить в решение): $x=2$ и $x=4$.
Нули знаменателя (точки, которые всегда исключаются из решения): $x=1$ и $x=-3$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

---(+)---$(-3)$---(-)---$(1)$---(+)---$[2]$---(-)---$[4]$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы, где выражение не отрицательно (больше или равно нулю). Это интервалы со знаком "+", включая закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, 2] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{8}{x^2-6x+8} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{8}{x^2-6x+8} - 1 < 0$

$\frac{8 - (x^2-6x+8)}{x^2-6x+8} < 0$

$\frac{-x^2+6x}{x^2-6x+8} < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2-6x}{x^2-6x+8} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2-6x = x(x-6)$. Нули: $x=0$, $x=6$.
Знаменатель: $x^2-6x+8=0$. По теореме Виета, корни $x=2$ и $x=4$. Знаменатель равен $(x-2)(x-4)$. Нули: $x=2$, $x=4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x-6)}{(x-2)(x-4)} > 0$.

Применим метод интервалов. Все точки будут выколоты, так как неравенство строгое. Точки: 0, 2, 4, 6.

---(+)---$(0)$---(-)---$(2)$---(+)---$(4)$---(-)---$(6)$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы, где выражение положительно (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) \cup (6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2x^2+5x}{x^2+5x+4} \ge 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x^2+5x - (x^2+5x+4)}{x^2+5x+4} \ge 0$

$\frac{2x^2+5x - x^2-5x-4}{x^2+5x+4} \ge 0$

$\frac{x^2-4}{x^2+5x+4} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Нули: $x=2$, $x=-2$.
Знаменатель: $x^2+5x+4=0$. По теореме Виета, корни $x=-1$ и $x=-4$. Знаменатель равен $(x+1)(x+4)$. Нули: $x=-1$, $x=-4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+4)} \ge 0$.

Применим метод интервалов. Нули числителя (-2, 2) будут закрашенными, нули знаменателя (-4, -1) - выколотыми. Точки: -4, -2, -1, 2.

---(+)---$(-4)$---(-)---$[-2]$---(+)---$(-1)$---(-)---$[2]$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы со знаком "+", включая закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [-2, -1) \cup [2, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2-2x-3}{(x+3)(x-4)} < 0$.

Разложим на множители числитель. Решим уравнение $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Таким образом, числитель равен $(x-3)(x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-4)} < 0$

Применим метод интервалов. Все точки будут выколоты, так как неравенство строгое. Нули числителя и знаменателя: -3, -1, 3, 4.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки:

---(+)---$(-3)$---(-)---$(-1)$---(+)---$(3)$---(-)---$(4)$---(+)---> $x$

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно (со знаком "-").

Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (3, 4)$.