Номер 240, страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 240, страница 124.

Условие.

240. Задайте формулой хотя бы одну функцию $f$, если:

а) $f'(x) = 1 - \sin x$;

б) $f'(x) = 2 \cos 2x$;

в) $f'(x) = -\cos x$;

г) $f'(x) = 3 \sin x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы найти функцию $f(x)$, зная ее производную $f'(x) = 1 - \sin x$, необходимо найти первообразную для $f'(x)$. Это делается путем интегрирования.

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (1 - \sin x) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два:

$f(x) = \int 1 dx - \int \sin x dx$

Интеграл от константы 1 равен $x$. Интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$. Таким образом, получаем:

$f(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию задачи требуется найти хотя бы одну такую функцию, поэтому мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Пусть $C = 0$.

Тогда одна из возможных функций будет $f(x) = x + \cos x$.

Проверим, найдя производную: $f'(x) = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = x + \cos x$.

б)

Дана производная $f'(x) = 2 \cos 2x$. Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int 2 \cos 2x dx = 2 \int \cos 2x dx$

Это интеграл от сложной функции. Первообразная для $\cos u$ есть $\sin u$. Для $\cos(kx)$ первообразная равна $\frac{1}{k}\sin(kx)$. В нашем случае $k=2$.

$f(x) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) + C = \sin 2x + C$

Выберем $C=0$. Тогда одна из возможных функций: $f(x) = \sin 2x$.

Проверка: $f'(x) = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = \sin 2x$.

в)

Дана производная $f'(x) = -\cos x$. Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int (-\cos x) dx = - \int \cos x dx$

Интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$.

$f(x) = - \sin x + C$

Выберем $C=0$. Тогда одна из возможных функций: $f(x) = -\sin x$.

Проверка: $f'(x) = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = -\sin x$.

г)

Дана производная $f'(x) = 3 \sin x$. Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int 3 \sin x dx = 3 \int \sin x dx$

Интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$.

$f(x) = 3 \cdot (-\cos x) + C = -3 \cos x + C$

Выберем $C=0$. Тогда одна из возможных функций: $f(x) = -3 \cos x$.

Проверка: $f'(x) = (-3 \cos x)' = -3 (\cos x)' = -3 (-\sin x) = 3 \sin x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = -3 \cos x$.