Номер 235, страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 235, страница 124.

Условие.

235. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = \frac{1}{2}x + \cos x$;

б) $f(x) = x - \operatorname{tg} x$;

в) $f(x) = 2 \sin x - 1$;

г) $f(x) = x - \cos x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x + \cos x$.

Для того чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования суммы и производные основных функций, получаем:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x + \cos x)' = (\frac{1}{2}x)' + (\cos x)' = \frac{1}{2} - \sin x$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{1}{2} - \sin x = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$ и $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = x - \tg x$.

Область определения этой функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как тангенс не определен в этих точках.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \tg x)' = (x)' - (\tg x)' = 1 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$

$\cos^2 x = 1$

Это уравнение эквивалентно двум случаям: $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одно:

$x = \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения не совпадают с точками $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, поэтому они все являются допустимыми решениями.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = 2 \sin x - 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2 \sin x - 1)' = (2 \sin x)' - (1)' = 2 \cos x - 0 = 2 \cos x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 \cos x = 0$

$\cos x = 0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 + \sin x = 0$

$\sin x = -1$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.