Номер 238, страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 238, страница 124.

Условие.

238. — a) $f(x) = \cos 2x \sin x + \sin 2x \cos x;$

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4};$

в) $f(x) = \sin 5x \sin 3x + \cos 5x \cos 3x;$

г) $f(x) = \sin 3x \cos 3x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = \cos 2x \sin x + \sin 2x \cos x$.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.

Тогда мы можем упростить функцию:

$f(x) = \sin(2x + x) = \sin(3x)$.

Ответ: $f(x) = \sin(3x)$.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}$.

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Здесь $\alpha = \frac{x}{4}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = \cos(\frac{x}{2})$.

Ответ: $f(x) = \cos(\frac{x}{2})$.

в) Дана функция $f(x) = \sin 5x \sin 3x + \cos 5x \cos 3x$.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.

Следовательно, функция упрощается до:

$f(x) = \cos(5x - 3x) = \cos(2x)$.

Ответ: $f(x) = \cos(2x)$.

г) Дана функция $f(x) = \sin 3x \cos 3x$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Здесь $\alpha = 3x$.

Подставляя в формулу, получаем:

$f(x) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2} \sin(6x)$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$.