Номер 242, страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 242, страница 128.

Условие.

242. Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $f(x) = x^3 - 2x^2$;

б) $f(x) = \frac{x^3 + 27}{3x + x^2}$;

в) $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^3 - 8}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = x^3 - 2x^2$

Данная функция является многочленом (полиномом). Областью определения любого многочлена является вся числовая прямая. Полиномиальные функции непрерывны на всей своей области определения.
Следовательно, функция $f(x) = x^3 - 2x^2$ непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ: Промежуток непрерывности $(-\infty; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{x^3 + 27}{3x + x^2}$

Данная функция является рациональной. Рациональная функция непрерывна во всех точках своей области определения. Область определения исключает значения переменной, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Эти точки являются точками разрыва.
Найдем нули знаменателя:
$3x + x^2 = 0$
$x(3 + x) = 0$
Отсюда получаем две точки разрыва: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Таким образом, функция непрерывна на всех интервалах, не содержащих эти точки.

Ответ: Промежутки непрерывности $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; +\infty)$.

в) $f(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4$

Данная функция является многочленом (полиномом). Все многочлены непрерывны на всей числовой прямой, так как их область определения — множество всех действительных чисел $R$.

Ответ: Промежуток непрерывности $(-\infty; +\infty)$.

г) $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^3 - 8}$

Данная функция является рациональной и непрерывна везде, кроме точек, где ее знаменатель равен нулю.
Найдем нули знаменателя:
$x^3 - 8 = 0$
$x^3 = 8$
$x = \sqrt[3]{8}$
$x = 2$
Следовательно, функция имеет единственную точку разрыва $x = 2$. На всех остальных участках числовой прямой функция непрерывна.

Ответ: Промежутки непрерывности $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.