Номер 241, страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 241, страница 128.

Условие.

241.— Является ли функция $f$ непрерывной в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$, если:

a) $f(x) = x^4 - x + 1;$

б) $f(x) = \begin{cases} x+1 \text{ при } x \le -1, \\ x^2-x \text{ при } x > -1; \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} 1-x^2 \text{ при } x < 0, \\ 5-2x \text{ при } x \ge 0; \end{cases}$

г) $f(x) = 2x - x^2 + x^3?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы функция $f(x)$ была непрерывной в точке $x = a$, должны выполняться три условия:

1. Функция определена в точке $a$, то есть существует значение $f(a)$.
2. Существует предел функции в этой точке $\lim_{x \to a} f(x)$. Это означает, что односторонние пределы равны: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
3. Предел функции в точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

---

а) $f(x) = x^4 - x + 1$

Данная функция является многочленом. Многочлены непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$, следовательно, функция непрерывна в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Проверим это по определению непрерывности.

Проверка в точке $x_1 = 0$:

1. Найдем значение функции в точке: $f(0) = 0^4 - 0 + 1 = 1$.

2. Найдем предел функции в точке: $\lim_{x \to 0} (x^4 - x + 1) = 0^4 - 0 + 1 = 1$.

3. Поскольку $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$, все три условия непрерывности выполнены. Значит, функция непрерывна в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

1. Найдем значение функции в точке: $f(-1) = (-1)^4 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$.

2. Найдем предел функции в точке: $\lim_{x \to -1} (x^4 - x + 1) = (-1)^4 - (-1) + 1 = 3$.

3. Поскольку $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 3$, функция непрерывна в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция непрерывна в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

---

б) $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{при } x \le -1, \\ x^2-x & \text{при } x > -1; \end{cases}$

Проверка в точке $x_1 = 0$:

В окрестности точки $x=0$ (например, для $x>-1$) функция задается формулой $f(x) = x^2 - x$. Это многочлен, который непрерывен.

1. Значение функции: $f(0) = 0^2 - 0 = 0$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 - x) = 0$.

3. Так как $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

Это точка, где меняется определение функции, поэтому необходимо найти односторонние пределы.

1. Значение функции в точке (при $x=-1$ используется первая формула): $f(-1) = -1 + 1 = 0$.

2. Левосторонний предел (при $x \to -1^-$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (x+1) = -1 + 1 = 0$.

3. Правосторонний предел (при $x \to -1^+$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2-x) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

4. Так как левосторонний предел (0) не равен правостороннему пределу (2), то предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_1 = 0$, но имеет разрыв в точке $x_2 = -1$.

---

в) $f(x) = \begin{cases} 1-x^2 & \text{при } x < 0, \\ 5-2x & \text{при } x \ge 0; \end{cases}$

Проверка в точке $x_1 = 0$:

Это точка, где меняется определение функции, поэтому необходимо найти односторонние пределы.

1. Значение функции в точке (при $x=0$ используется вторая формула): $f(0) = 5 - 2(0) = 5$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (1-x^2) = 1 - 0^2 = 1$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (5-2x) = 5 - 2(0) = 5$.

4. Так как левосторонний предел (1) не равен правостороннему пределу (5), то предел $\lim_{x \to 0} f(x)$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

В окрестности точки $x=-1$ (например, для $x<0$) функция задается формулой $f(x) = 1 - x^2$. Это многочлен, который непрерывен.

1. Значение функции: $f(-1) = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (1-x^2) = 1 - (-1)^2 = 0$.

3. Так как $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 0$, функция непрерывна в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция имеет разрыв в точке $x_1 = 0$, но непрерывна в точке $x_2 = -1$.

---

г) $f(x) = 2x - x^2 + x^3$

Данная функция является многочленом и, следовательно, непрерывна на всей числовой прямой, включая точки $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверка в точке $x_1 = 0$:

1. Значение функции: $f(0) = 2(0) - 0^2 + 0^3 = 0$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to 0} (2x - x^2 + x^3) = 0$.

3. Так как $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$, функция непрерывна в точке $x_1 = 0$.

Проверка в точке $x_2 = -1$:

1. Значение функции: $f(-1) = 2(-1) - (-1)^2 + (-1)^3 = -2 - 1 - 1 = -4$.

2. Предел функции: $\lim_{x \to -1} (2x - x^2 + x^3) = 2(-1) - (-1)^2 + (-1)^3 = -4$.

3. Так как $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = -4$, функция непрерывна в точке $x_2 = -1$.

Ответ: функция непрерывна в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.