Номер 246, страница 128 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 246, страница 128.

Условие.

246.- Найдите область определения функции:

а) $f(x) = \sqrt{x - \frac{4}{x-3}}$;

б) $f(x) = \sqrt{\frac{3}{x^2-4} + 1}$;

в) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 7x + 12}{x}}$;

г) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{8}{x^2-1}}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = \sqrt{x - \frac{4}{x-3}}$

Область определения функции задается двумя условиями: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. $x - \frac{4}{x-3} \ge 0$

2. $x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3$

Решим первое неравенство. Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{x(x-3) - 4}{x-3} \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x - 4}{x-3} \ge 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Разложим числитель на множители: $(x-4)(x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-4)(x+1)}{x-3} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль: $x = -1$, $x = 3$, $x = 4$. Точки $x = -1$ и $x = 4$ будут закрашенными (входят в решение), а точка $x = 3$ — выколотой (не входит в решение).

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -1]$, $[-1, 3)$, $(3, 4]$, $[4, \infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (3, 4]$ (например, $x=3.5$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-1, 3)$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \le -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем область определения.

Ответ: $x \in [-1, 3) \cup [4, \infty)$.

б) $f(x) = \sqrt{\frac{3}{x^2-4} + 1}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и неравенством нулю знаменателя.

1. $\frac{3}{x^2-4} + 1 \ge 0$

2. $x^2 - 4 \ne 0 \implies (x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Решим первое неравенство, приведя к общему знаменателю:

$\frac{3 + (x^2-4)}{x^2-4} \ge 0$

$\frac{x^2-1}{x^2-4} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Корни числителя: $x = 1$, $x = -1$. Корни знаменателя: $x = 2$, $x = -2$.

Отметим точки на числовой оси: $-2, -1, 1, 2$. Точки $-1, 1$ закрашенные, точки $-2, 2$ выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1]$, $[-1, 1]$, $[1, 2)$, $(2, \infty)$.

• При $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (1, 2)$: $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-1, 1]$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} \ge 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-2, -1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$. Интервал подходит.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$.

в) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2+7x+12}{x}}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и неравенством нулю знаменателя.

1. $\frac{x^2+7x+12}{x} \ge 0$

2. $x \ne 0$

Найдем корни числителя: $x^2+7x+12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.

Разложим числитель на множители: $(x+4)(x+3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+4)(x+3)}{x} \ge 0$

Решим методом интервалов. Критические точки: $-4, -3, 0$. Точки $-4, -3$ закрашенные, точка $0$ выколотая.

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -4]$, $[-4, -3]$, $[-3, 0)$, $(0, \infty)$.

• При $x > 0$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in [-3, 0)$: $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [-4, -3]$: $\frac{(-)(+)}{(-)} \ge 0$. Интервал подходит.
• При $x \le -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)} \le 0$. Интервал не подходит.

Собираем решения.

Ответ: $x \in [-4, -3] \cup (0, \infty)$.

г) $f(x) = \sqrt{1 - \frac{8}{x^2-1}}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения и неравенством нулю знаменателя.

1. $1 - \frac{8}{x^2-1} \ge 0$

2. $x^2-1 \ne 0 \implies (x-1)(x+1) \ne 0 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Решим первое неравенство:

$\frac{(x^2-1) - 8}{x^2-1} \ge 0$

$\frac{x^2-9}{x^2-1} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x+1)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Критические точки: $-3, -1, 1, 3$. Точки $-3, 3$ закрашенные, точки $-1, 1$ выколотые.

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty, -3]$, $[-3, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 3]$, $[3, \infty)$.

• При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (1, 3]$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (-1, 1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in [-3, -1)$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \le -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} \ge 0$. Интервал подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 1) \cup [3, \infty)$.