Номер 251, страница 132 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 251, страница 132.

Условие.

251.— В каких точках графика функции $f$ (рис. 97) касательная

к нему:

а) горизонтальна;

б) образует с осью абсцисс острый угол;

в) образует с осью абсцисс тупой угол?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox): $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Поскольку сам график функции (рис. 97) не представлен, мы дадим общее описание для каждого случая, основываясь на этом свойстве.

а) горизонтальна;

Горизонтальная прямая параллельна оси абсцисс, поэтому угол наклона $\alpha$ равен $0^\circ$ или $180^\circ$. В обоих случаях тангенс угла наклона равен нулю: $\tan(0^\circ) = 0$.

Следовательно, угловой коэффициент касательной $k$ равен 0, а это значит, что и производная функции в точке касания должна быть равна нулю: $f'(x) = 0$.

На графике функции это точки локальных экстремумов (точки максимума и минимума), то есть "вершины" и "впадины" графика.

Ответ: Касательная к графику функции горизонтальна в точках локальных максимумов и минимумов, где производная функции равна нулю ($f'(x) = 0$).

б) образует с осью абсцисс острый угол;

Острый угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Тангенс острого угла всегда положителен: $\tan(\alpha) > 0$.

Это означает, что угловой коэффициент касательной $k$ должен быть положительным, а значит, и производная функции в точке касания должна быть положительной: $f'(x) > 0$.

На графике это точки, принадлежащие интервалам возрастания функции (где график идет вверх, если смотреть слева направо).

Ответ: Касательная образует с осью абсцисс острый угол в точках, принадлежащих интервалам возрастания функции, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$).

в) образует с осью абсцисс тупой угол?

Тупой угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Тангенс тупого угла всегда отрицателен: $\tan(\alpha) < 0$.

Это означает, что угловой коэффициент касательной $k$ должен быть отрицательным, а значит, и производная функции в точке касания должна быть отрицательной: $f'(x) < 0$.

На графике это точки, принадлежащие интервалам убывания функции (где график идет вниз, если смотреть слева направо).

Ответ: Касательная образует с осью абсцисс тупой угол в точках, принадлежащих интервалам убывания функции, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).