Номер 251, страница 132 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Применения непрерывности и производной. Глава 2. Производная и её применения - номер 251, страница 132.
№251 (с. 132)
Условие. №251 (с. 132)
скриншот условия

251.— В каких точках графика функции $f$ (рис. 97) касательная
к нему:
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
Решение 1. №251 (с. 132)

Решение 3. №251 (с. 132)

Решение 4. №251 (с. 132)

Решение 5. №251 (с. 132)
Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox): $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.
Поскольку сам график функции (рис. 97) не представлен, мы дадим общее описание для каждого случая, основываясь на этом свойстве.
а) горизонтальна;
Горизонтальная прямая параллельна оси абсцисс, поэтому угол наклона $\alpha$ равен $0^\circ$ или $180^\circ$. В обоих случаях тангенс угла наклона равен нулю: $\tan(0^\circ) = 0$.
Следовательно, угловой коэффициент касательной $k$ равен 0, а это значит, что и производная функции в точке касания должна быть равна нулю: $f'(x) = 0$.
На графике функции это точки локальных экстремумов (точки максимума и минимума), то есть "вершины" и "впадины" графика.
Ответ: Касательная к графику функции горизонтальна в точках локальных максимумов и минимумов, где производная функции равна нулю ($f'(x) = 0$).
б) образует с осью абсцисс острый угол;
Острый угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Тангенс острого угла всегда положителен: $\tan(\alpha) > 0$.
Это означает, что угловой коэффициент касательной $k$ должен быть положительным, а значит, и производная функции в точке касания должна быть положительной: $f'(x) > 0$.
На графике это точки, принадлежащие интервалам возрастания функции (где график идет вверх, если смотреть слева направо).
Ответ: Касательная образует с осью абсцисс острый угол в точках, принадлежащих интервалам возрастания функции, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$).
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
Тупой угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Тангенс тупого угла всегда отрицателен: $\tan(\alpha) < 0$.
Это означает, что угловой коэффициент касательной $k$ должен быть отрицательным, а значит, и производная функции в точке касания должна быть отрицательной: $f'(x) < 0$.
На графике это точки, принадлежащие интервалам убывания функции (где график идет вниз, если смотреть слева направо).
Ответ: Касательная образует с осью абсцисс тупой угол в точках, принадлежащих интервалам убывания функции, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 251 расположенного на странице 132 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №251 (с. 132), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.