Номер 257, страница 134 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 257, страница 134.

Условие.

Найдите точки графика функции f, в которых касательная параллельна оси абсцисс (257–258).

257.—

a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x;$

б) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 16x;$

в) $f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 2;$

г) $f(x) = x^3 - 3x + 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс в тех точках, где производная функции равна нулю. Это связано с тем, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$, а угловой коэффициент оси абсцисс (горизонтальной прямой) равен 0. Таким образом, для каждой функции мы найдем ее производную, приравняем ее к нулю, решим полученное уравнение относительно $x$, а затем найдем соответствующие значения ординаты $y=f(x)$, чтобы получить координаты искомых точек.

а) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 3x)' = 3x^2 - 6x + 3$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$3x^2 - 6x + 3 = 0$
Разделим обе части на 3:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Свернем по формуле квадрата разности:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.

Находим ординату точки, подставив $x=1$ в исходную функцию:
$y = f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) = 1 - 3 + 3 = 1$.

Искомая точка имеет координаты $(1, 1)$.
Ответ: $(1, 1)$.

б) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 16x$

Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 + 16x)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 + 16 = 2x^3 + 16$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$2x^3 + 16 = 0$
$2x^3 = -16$
$x^3 = -8$
$x = -2$.

Находим ординату точки:
$y = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 + 16(-2) = \frac{1}{2} \cdot 16 - 32 = 8 - 32 = -24$.

Искомая точка имеет координаты $(-2, -24)$.
Ответ: $(-2, -24)$.

в) $f(x) = 3x^4 - 6x^2 + 2$

Находим производную функции:
$f'(x) = (3x^4 - 6x^2 + 2)' = 12x^3 - 12x$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$12x^3 - 12x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$12x(x^2 - 1) = 0$
$12x(x - 1)(x + 1) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Находим ординаты для каждой из этих точек:
При $x = 0$: $y = f(0) = 3(0)^4 - 6(0)^2 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x = 1$: $y = f(1) = 3(1)^4 - 6(1)^2 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
При $x = -1$: $y = f(-1) = 3(-1)^4 - 6(-1)^2 + 2 = 3(1) - 6(1) + 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Искомые точки: $(0, 2)$, $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.
Ответ: $(0, 2)$, $(1, -1)$, $(-1, -1)$.

г) $f(x) = x^3 - 3x + 1$

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Находим ординаты для каждой из этих точек:
При $x = 1$: $y = f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.
При $x = -1$: $y = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Искомые точки: $(1, -1)$ и $(-1, 3)$.
Ответ: $(1, -1)$, $(-1, 3)$.