Номер 264, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 264, страница 136.

Условие.

Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения (264—266).

264.—

a) $tg 44^\circ$;

б) $cos 61^\circ$;

в) $sin 31^\circ$;

г) $ctg 47^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для вычисления приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения функции, которая, по-видимому, имеется в виду под "формулой (1)". Эта формула является следствием разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0$ и имеет вид:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

Здесь $x_0$ — это точка, близкая к искомому значению $x = x_0 + \Delta x$, в которой легко вычислить значение функции $f(x_0)$ и её производной $f'(x_0)$. Важно помнить, что приращение аргумента $\Delta x$ для тригонометрических функций должно быть выражено в радианах. Для перевода градусов в радианы используется соотношение $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. В расчетах будем использовать значение $\pi \approx 3.1416$.

а) tg 44°

Рассмотрим функцию $f(x) = \tan(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 44^\circ - 45^\circ = -1^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = -1^\circ = -1 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{180} \approx -0.01745$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 45^\circ$:

$f(x_0) = \tan(45^\circ) = 1$

$f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(45^\circ)} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = 2$

Теперь подставим все найденные значения в формулу приближения:

$\tan(44^\circ) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ) \cdot \Delta x = 1 + 2 \cdot (-\frac{\pi}{180}) = 1 - \frac{\pi}{90}$

$\tan(44^\circ) \approx 1 - \frac{3.1416}{90} \approx 1 - 0.0349 = 0.9651$

Ответ: $\tan(44^\circ) \approx 0.9651$

б) cos 61°

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 61^\circ - 60^\circ = 1^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 60^\circ$:

$f(x_0) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

$f'(x_0) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660$

Подставим значения в формулу приближения:

$\cos(61^\circ) \approx f(60^\circ) + f'(60^\circ) \cdot \Delta x = \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 - \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$

$\cos(61^\circ) \approx 0.5 - 0.8660 \cdot 0.01745 \approx 0.5 - 0.01511 \approx 0.4849$

Ответ: $\cos(61^\circ) \approx 0.4849$

в) sin 31°

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 31^\circ - 30^\circ = 1^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 30^\circ$:

$f(x_0) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$

$f'(x_0) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$

Подставим значения в формулу приближения:

$\sin(31^\circ) \approx f(30^\circ) + f'(30^\circ) \cdot \Delta x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 + \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$

$\sin(31^\circ) \approx 0.5 + 0.8660 \cdot 0.01745 \approx 0.5 + 0.01511 \approx 0.5151$

Ответ: $\sin(31^\circ) \approx 0.5151$

г) ctg 47°

Рассмотрим функцию $f(x) = \cot(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 47^\circ - 45^\circ = 2^\circ$.

Переведем $\Delta x$ в радианы:

$\Delta x = 2^\circ = 2 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0.0349$ радиан.

Находим производную функции: $f'(x) = (\cot(x))' = -\frac{1}{\sin^2(x)}$.

Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 45^\circ$:

$f(x_0) = \cot(45^\circ) = 1$

$f'(x_0) = -\frac{1}{\sin^2(45^\circ)} = -\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{1/2} = -2$

Подставим значения в формулу приближения:

$\cot(47^\circ) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ) \cdot \Delta x = 1 + (-2) \cdot \frac{\pi}{90} = 1 - \frac{\pi}{45}$

$\cot(47^\circ) \approx 1 - \frac{3.1416}{45} \approx 1 - 0.0698 = 0.9302$

Ответ: $\cot(47^\circ) \approx 0.9302$