Номер 264, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Применения непрерывности и производной. Глава 2. Производная и её применения - номер 264, страница 136.
№264 (с. 136)
Условие. №264 (с. 136)
скриншот условия

Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения (264—266).
264.—
a) $tg 44^\circ$;
б) $cos 61^\circ$;
в) $sin 31^\circ$;
г) $ctg 47^\circ$.
Решение 1. №264 (с. 136)

Решение 3. №264 (с. 136)

Решение 4. №264 (с. 136)


Решение 5. №264 (с. 136)
Для вычисления приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения функции, которая, по-видимому, имеется в виду под "формулой (1)". Эта формула является следствием разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки $x_0$ и имеет вид:
$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$
Здесь $x_0$ — это точка, близкая к искомому значению $x = x_0 + \Delta x$, в которой легко вычислить значение функции $f(x_0)$ и её производной $f'(x_0)$. Важно помнить, что приращение аргумента $\Delta x$ для тригонометрических функций должно быть выражено в радианах. Для перевода градусов в радианы используется соотношение $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. В расчетах будем использовать значение $\pi \approx 3.1416$.
а) tg 44°
Рассмотрим функцию $f(x) = \tan(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 44^\circ - 45^\circ = -1^\circ$.
Переведем $\Delta x$ в радианы:
$\Delta x = -1^\circ = -1 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{180} \approx -0.01745$ радиан.
Находим производную функции: $f'(x) = (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.
Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 45^\circ$:
$f(x_0) = \tan(45^\circ) = 1$
$f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(45^\circ)} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = 2$
Теперь подставим все найденные значения в формулу приближения:
$\tan(44^\circ) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ) \cdot \Delta x = 1 + 2 \cdot (-\frac{\pi}{180}) = 1 - \frac{\pi}{90}$
$\tan(44^\circ) \approx 1 - \frac{3.1416}{90} \approx 1 - 0.0349 = 0.9651$
Ответ: $\tan(44^\circ) \approx 0.9651$
б) cos 61°
Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 61^\circ - 60^\circ = 1^\circ$.
Переведем $\Delta x$ в радианы:
$\Delta x = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$ радиан.
Находим производную функции: $f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 60^\circ$:
$f(x_0) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$
$f'(x_0) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660$
Подставим значения в формулу приближения:
$\cos(61^\circ) \approx f(60^\circ) + f'(60^\circ) \cdot \Delta x = \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 - \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$
$\cos(61^\circ) \approx 0.5 - 0.8660 \cdot 0.01745 \approx 0.5 - 0.01511 \approx 0.4849$
Ответ: $\cos(61^\circ) \approx 0.4849$
в) sin 31°
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 31^\circ - 30^\circ = 1^\circ$.
Переведем $\Delta x$ в радианы:
$\Delta x = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745$ радиан.
Находим производную функции: $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 30^\circ$:
$f(x_0) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0.5$
$f'(x_0) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$
Подставим значения в формулу приближения:
$\sin(31^\circ) \approx f(30^\circ) + f'(30^\circ) \cdot \Delta x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} = 0.5 + \frac{\sqrt{3}\pi}{360}$
$\sin(31^\circ) \approx 0.5 + 0.8660 \cdot 0.01745 \approx 0.5 + 0.01511 \approx 0.5151$
Ответ: $\sin(31^\circ) \approx 0.5151$
г) ctg 47°
Рассмотрим функцию $f(x) = \cot(x)$. В качестве опорной точки выберем $x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ радиан.Приращение аргумента $\Delta x = 47^\circ - 45^\circ = 2^\circ$.
Переведем $\Delta x$ в радианы:
$\Delta x = 2^\circ = 2 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{90} \approx 0.0349$ радиан.
Находим производную функции: $f'(x) = (\cot(x))' = -\frac{1}{\sin^2(x)}$.
Вычислим значения функции и её производной в точке $x_0 = 45^\circ$:
$f(x_0) = \cot(45^\circ) = 1$
$f'(x_0) = -\frac{1}{\sin^2(45^\circ)} = -\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{1/2} = -2$
Подставим значения в формулу приближения:
$\cot(47^\circ) \approx f(45^\circ) + f'(45^\circ) \cdot \Delta x = 1 + (-2) \cdot \frac{\pi}{90} = 1 - \frac{\pi}{45}$
$\cot(47^\circ) \approx 1 - \frac{3.1416}{45} \approx 1 - 0.0698 = 0.9302$
Ответ: $\cot(47^\circ) \approx 0.9302$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 264 расположенного на странице 136 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №264 (с. 136), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.