Номер 268, страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 268, страница 141.

Условие.

268. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^3 - 4t^2$. Найдите скорость и ускорение в момент $t = 5$ с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Задан закон прямолинейного движения материальной точки: $x(t) = t^3 - 4t^2$. Перемещение $x$ измеряется в метрах, а время $t$ — в секундах. Для нахождения скорости и ускорения в заданный момент времени необходимо найти первую и вторую производные функции перемещения по времени.

Скорость

Скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $x(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости, продифференцировав $x(t)$ по $t$:
$v(t) = x'(t) = (t^3 - 4t^2)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:
$v(t) = 3t^2 - 8t$

Теперь вычислим значение скорости в момент времени $t = 5$ с:
$v(5) = 3 \cdot 5^2 - 8 \cdot 5 = 3 \cdot 25 - 40 = 75 - 40 = 35$ (м/с).

Ответ: скорость в момент времени $t=5$ с равна 35 м/с.

Ускорение

Ускорение $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени $t$, или, что то же самое, второй производной от перемещения $x(t)$. Продифференцируем найденную функцию скорости $v(t)$:
$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 8t)'$

Вычисляем производную:
$a(t) = 6t - 8$

Теперь найдем значение ускорения в момент времени $t = 5$ с:
$a(5) = 6 \cdot 5 - 8 = 30 - 8 = 22$ (м/с²).

Ответ: ускорение в момент времени $t=5$ с равно 22 м/с².