Номер 275, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 275, страница 142.

Условие.

275. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 + t + 1$. Координата $x$ измеряется в сантиметрах, время $t$ — в секундах. Найдите:

a) действующую силу;

б) кинетическую энергию $E$ тела через 2 с после начала движения.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения действующей силы $F$ используется второй закон Ньютона: $F = m \cdot a$, где $m$ — масса тела, а $a$ — его ускорение.

Сначала необходимо привести все величины к системе СИ. Масса $m = 2$ кг уже в СИ. Координата $x$ дана в сантиметрах, переведем ее в метры: $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Таким образом, закон движения в метрах имеет вид: $x(t) = (t^2 + t + 1) \cdot 0.01 = 0.01t^2 + 0.01t + 0.01$ м.

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $x(t)$: $v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(0.01t^2 + 0.01t + 0.01) = 2 \cdot 0.01t + 0.01 = 0.02t + 0.01$ м/с.

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты или первой производной от скорости: $a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(0.02t + 0.01) = 0.02$ м/с².

Ускорение является постоянной величиной. Теперь можно рассчитать действующую силу: $F = m \cdot a = 2 \text{ кг} \cdot 0.02 \text{ м/с²} = 0.04$ Н.

Ответ: $0.04 \text{ Н}$.

б) Кинетическая энергия $E$ тела вычисляется по формуле: $E = \frac{1}{2}mv^2$.

Найдем скорость тела в момент времени $t = 2$ с, используя выведенное ранее уравнение для скорости $v(t) = 0.02t + 0.01$ м/с: $v(2) = 0.02 \cdot 2 + 0.01 = 0.04 + 0.01 = 0.05$ м/с.

Теперь вычислим кинетическую энергию в этот момент времени, подставив массу $m = 2$ кг и найденную скорость $v = 0.05$ м/с в формулу: $E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v(2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (0.05 \text{ м/с})^2 = 1 \cdot 0.0025 = 0.0025$ Дж.

Ответ: $0.0025 \text{ Дж}$.