Номер 280, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 280, страница 146.

Условие.

280. a) $f(x) = -\frac{2}{x} + 1;$

б) $f(x) = x^2 (x - 3);$

в) $f(x) = \frac{x-3}{x};$

г) $f(x) = x^3 - 27x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $f(x) = -\frac{2}{x} + 1$

1. Найдём область определения функции.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(-\frac{2}{x} + 1\right)' = (-2x^{-1} + 1)' = -2 \cdot (-1)x^{-2} + 0 = \frac{2}{x^2}$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{2}{x^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби $2 \neq 0$. Производная не существует в точке $x = 0$, но эта точка не входит в область определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то производная $f'(x) = \frac{2}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения.

5. Найдём промежутки возрастания и убывания.
Так как $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Промежутков убывания нет. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точек экстремума нет.

б) $f(x) = x^2(x - 3)$

1. Преобразуем функцию и найдём область определения.
$f(x) = x^3 - 3x^2$.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (0; 2)$, например $x=1$, $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

5. Найдём точки экстремума.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$.
В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 2]$, $x_{max} = 0$, $x_{min} = 2$.

в) $f(x) = \frac{x - 3}{x}$

1. Преобразуем функцию и найдём область определения.
$f(x) = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 1 - \frac{3}{x}$.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(1 - \frac{3}{x}\right)' = (1 - 3x^{-1})' = -3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{3}{x^2}$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{3}{x^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений. Производная не существует в точке $x = 0$, но эта точка не входит в область определения функции. Критических точек нет.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Так как $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $f'(x) = \frac{3}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения.

5. Найдём промежутки возрастания и убывания.
Поскольку $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Промежутков убывания и точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точек экстремума нет.

г) $f(x) = x^3 - 27x$

1. Найдём область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = (x^3 - 27x)' = 3x^2 - 27$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 27 = 0$
$3x^2 = 27$
$x^2 = 9$
Критические точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$, $f'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (-3; 3)$, например $x=0$, $f'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$. Функция убывает.
При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$, $f'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.

5. Найдём точки экстремума.
В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) = -27 + 81 = 54$.
В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(3) = 3^3 - 27(3) = 27 - 81 = -54$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 3]$, $x_{max} = -3$, $x_{min} = 3$.