Номер 282, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 282, страница 146.

Условие.

282. Постройте эскиз графика функции $f$, удовлетворяющей условиям:

а) $D(f) = [-2; 5]$, $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 5);$

б) $D(f) = [1; 6]$, $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 3) \cup (3; 6)$, $f'(3) = 0;$

в) $D(f) = [-2; 5]$, $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 1) \cup (1; 5)$, $f'(1) = 0;$

г) $D(f) = [1; 6]$, $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 6).$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Согласно условию, область определения функции $D(f) = [-2; 5]$. Это означает, что график функции существует только для значений $x$ в этом промежутке, включая концы. Условие $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 5)$ означает, что производная функции положительна на всем интервале определения, за исключением, возможно, конечных точек. Положительная производная указывает на то, что функция является строго возрастающей. Таким образом, эскиз графика должен представлять собой кривую, которая начинается в точке с абсциссой $x = -2$ и заканчивается в точке с абсциссой $x = 5$, и на всем этом протяжении график идет вверх. На графике нет точек максимума или минимума, и нет участков, где функция убывает или постоянна.
Простейшим примером такого графика является отрезок прямой, соединяющий, например, точки $(-2, 1)$ и $(5, 4)$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго возрастающую кривую на отрезке $[-2; 5]$.

б)

Область определения функции $D(f) = [1; 6]$. График существует на отрезке от $x = 1$ до $x = 6$. Условие $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 3) \cup (3; 6)$ означает, что функция является строго убывающей на интервалах $(1; 3)$ и $(3; 6)$. Условие $f'(3) = 0$ означает, что в точке $x = 3$ касательная к графику горизонтальна. Это точка стационарности. Так как функция убывает как до точки $x = 3$, так и после нее, точка $x=3$ не является точкой экстремума. Это точка перегиба с горизонтальной касательной (иногда называемая седловой точкой). Функция убывает на всей своей области определения $[1; 6]$.
Эскиз графика — это кривая, которая начинается в точке с абсциссой $x = 1$ и непрерывно идет вниз до точки с абсциссой $x = 6$. В точке $x = 3$ кривая "выравнивается", имея горизонтальную касательную, а затем продолжает свое снижение. Примером такой функции может служить $f(x) = -(x-3)^3$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго убывающую кривую на отрезке $[1; 6]$, имеющую в точке $x = 3$ перегиб с горизонтальной касательной.

в)

Область определения функции $D(f) = [-2; 5]$. График существует на отрезке от $x = -2$ до $x = 5$. Условие $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 1) \cup (1; 5)$ означает, что функция является строго возрастающей на интервалах $(-2; 1)$ и $(1; 5)$. Условие $f'(1) = 0$ означает, что в точке $x = 1$ касательная к графику горизонтальна (стационарная точка). Поскольку функция возрастает как до, так и после точки $x = 1$, эта точка не является экстремумом. Это точка перегиба с горизонтальной касательной. Функция возрастает на всей своей области определения $[-2; 5]$.
Эскиз графика — это кривая, которая начинается в точке с абсциссой $x = -2$ и непрерывно идет вверх до точки с абсциссой $x = 5$. В точке $x = 1$ кривая имеет горизонтальную касательную, после чего продолжает свой рост. Примером такой функции может служить $f(x) = (x-1)^3$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго возрастающую кривую на отрезке $[-2; 5]$, имеющую в точке $x = 1$ перегиб с горизонтальной касательной.

г)

Область определения функции $D(f) = [1; 6]$. Условие $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 6)$ означает, что производная функции отрицательна на всем интервале определения (кроме, возможно, концов). Отрицательная производная указывает на то, что функция является строго убывающей.
Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая начинается в точке с абсциссой $x = 1$ и заканчивается в точке с абсциссой $x = 6$, и на всем этом протяжении график идет вниз. На графике нет точек максимума, минимума или перегибов с горизонтальной касательной. Простейшим примером является отрезок прямой с отрицательным наклоном, например, соединяющий точки $(1, 6)$ и $(6, 1)$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго убывающую кривую на отрезке $[1; 6]$.