Номер 279, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 279, страница 146.

Условие.

279.—

a) $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x$;

б) $f(x) = -x^2 + 2x - 3$;

B) $f(x) = 4x - 5$;

г) $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x$.

Это линейная функция. Для нахождения ее производной, $f'(x)$, мы используем следующие правила дифференцирования:

1. Производная разности функций равна разности их производных: $(u - v)' = u' - v'$.

2. Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.

3. Производная функции вида $kx$ равна коэффициенту $k$: $(kx)' = k$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (3 - \frac{1}{2}x)' = (3)' - (\frac{1}{2}x)'$.

Согласно правилу 2, производная от константы 3 равна 0: $(3)' = 0$.

Согласно правилу 3, производная от $\frac{1}{2}x$ равна $\frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2}x)' = \frac{1}{2}$.

Следовательно, производная функции равна: $f'(x) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2}$.

б) Дана функция $f(x) = -x^2 + 2x - 3$.

Это квадратичная функция. Для нахождения ее производной мы используем правило дифференцирования суммы/разности и степенное правило: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Найдем производную поэлементно:

$f'(x) = (-x^2 + 2x - 3)' = (-x^2)' + (2x)' - (3)'$.

Используя степенное правило, производная от $-x^2$ равна $-2x^{2-1} = -2x$.

Производная от $2x$ равна $2$.

Производная константы $-3$ равна $0$.

Складывая результаты, получаем: $f'(x) = -2x + 2 - 0 = -2x + 2$.

Ответ: $f'(x) = -2x + 2$.

в) Дана функция $f(x) = 4x - 5$.

Это линейная функция. Процесс нахождения производной аналогичен пункту а).

$f'(x) = (4x - 5)' = (4x)' - (5)'$.

Производная от $4x$ равна $4$.

Производная от константы $-5$ равна $0$.

Таким образом, $f'(x) = 4 - 0 = 4$.

Ответ: $f'(x) = 4$.

г) Дана функция $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$.

Это квадратичная функция. Для нахождения ее производной применяем те же правила, что и в пункте б).

$f'(x) = (5x^2 - 3x + 1)' = (5x^2)' - (3x)' + (1)'$.

Используя степенное правило и правило вынесения константы за знак производной ($(cf(x))' = cf'(x)$), получаем:

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.

Производная от $-3x$ равна $-3$.

Производная от константы $1$ равна $0$.

Собрав все вместе, получаем: $f'(x) = 10x - 3 + 0 = 10x - 3$.

Ответ: $f'(x) = 10x - 3$.