Номер 278, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 278, страница 142.

Условие.

278.- Из пункта O по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела: первое — равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону $s(t) = 2t^2 + t$. С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t — в секундах.)

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

В условии задачи имеется несоответствие в единицах измерения. Скорость первого тела дана в километрах в час (км/ч), в то время как для второго тела закон движения $s(t) = 2t^2 + t$ предполагает, что время $t$ измеряется в секундах, а расстояние $s$ — в километрах. Наиболее вероятным является предположение, что указание в скобках `(s измеряется в километрах, t — в секундах)` задает единую систему единиц для всей задачи. В этом случае скорость первого тела, заданная как "5 км/ч", следует либо считать опечаткой и иметь в виду 5 км/с, либо перевести в км/с. Перевод 5 км/ч в км/с дает очень малую величину ($5/3600 \text{ км/с}$), что приводит к громоздким вычислениям и маловероятному ответу. Будем считать, что имелась в виду скорость 5 км/с, чтобы сохранить простоту чисел, характерную для учебных задач. Таким образом, принимаем, что первое тело движется равномерно со скоростью $v_1 = 5 \text{ км/с}$.

Определим законы движения и скорости для каждого тела в зависимости от времени $t$ (в секундах).

1. Первое тело:
Движется равномерно, поэтому расстояние от точки O равно $s_1(t) = v_1 \cdot t$.$s_1(t) = 5t$ (км).
Скорость первого тела постоянна: $v_1(t) = s_1'(t) = 5$ км/с.

2. Второе тело:
Расстояние от точки O дано по закону $s_2(t) = 2t^2 + t$ (км).
Скорость второго тела найдем, взяв производную от расстояния по времени:$v_2(t) = s_2'(t) = (2t^2 + t)' = 4t + 1$ км/с.

Скорость, с которой тела удаляются друг от друга (скорость разделения), в общем случае зависит от времени. Однако вопрос "С какой скоростью они удаляются друг от друга?" предполагает нахождение одного конкретного значения. В таких задачах, как правило, требуется найти начальную скорость разделения, то есть скорость в момент времени $t=0$.

В начальный момент времени ($t=0$) оба тела находятся в точке O ($s_1(0) = 0$, $s_2(0) = 0$). Когда два объекта начинают движение из одной точки, начальная скорость их разделения равна модулю вектора относительной скорости.

Найдем скорости тел в момент времени $t=0$:
$v_1(0) = 5$ км/с.
$v_2(0) = 4(0) + 1 = 1$ км/с.

Векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ направлены по лучам, угол между которыми составляет $\alpha = 60^\circ$. Модуль вектора относительной скорости $|\vec{v_2} - \vec{v_1}|$ можно найти по теореме косинусов для векторов:

$|\vec{v_2} - \vec{v_1}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 - 2|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cos(\alpha)$

Подставим значения скоростей при $t=0$ и угол $\alpha = 60^\circ$ ($\cos(60^\circ) = 0.5$):

$v_{sep}(0)^2 = v_1(0)^2 + v_2(0)^2 - 2v_1(0)v_2(0)\cos(60^\circ)$$v_{sep}(0)^2 = 5^2 + 1^2 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 0.5$$v_{sep}(0)^2 = 25 + 1 - 5$$v_{sep}(0)^2 = 21$

Отсюда, начальная скорость удаления тел друг от друга:

$v_{sep}(0) = \sqrt{21}$ км/с.

Ответ: тела удаляются друг от друга со скоростью $\sqrt{21}$ км/с. (Это начальная скорость удаления, которая в данном случае является наиболее вероятным ответом на вопрос задачи).