Номер 272, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 272, страница 142.

Условие.

272.— Точка движется прямолинейно по закону $x (t) = -\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите:

a) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;

б) скорость движения точки в этот момент.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = -\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5$.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $x'(t)$. Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени $x''(t)$ или первой производной от скорости $v'(t)$.

а) Найдем момент времени t, когда ускорение точки равно нулю.

Сначала найдем функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от функции координаты $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = \left(-\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5\right)' = -\frac{3t^2}{6} + 2 \cdot 3t^1 - 0 = -\frac{t^2}{2} + 6t$.

Теперь найдем функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = \left(-\frac{t^2}{2} + 6t\right)' = -\frac{2t}{2} + 6 = -t + 6$.

Чтобы найти момент времени, когда ускорение равно нулю, приравняем полученное выражение для $a(t)$ к нулю и решим уравнение:

$a(t) = 0$

$-t + 6 = 0$

$t = 6$

Ответ: Ускорение точки равно нулю в момент времени $t = 6$ с.

б) Найдем скорость движения точки в этот момент.

Для этого подставим найденное значение времени $t = 6$ с в выражение для скорости $v(t) = -\frac{t^2}{2} + 6t$:

$v(6) = -\frac{6^2}{2} + 6 \cdot 6 = -\frac{36}{2} + 36 = -18 + 36 = 18$.

Так как координата измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в м/с.

Ответ: Скорость движения точки в этот момент равна $18$ м/с.