Номер 270, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 270, страница 142.

Условие.

270.- Маховик, задерживаемый тормозом, за время $t$ поворачивается на угол $\varphi (t) = 4t - 0,3t^2$. Найдите:

а) угловую скорость $\omega (t)$ вращения маховика в момент времени $t = 2 \text{ с}$;

б) такой момент времени, когда маховик остановится.

($\omega (t)$ — угол в радианах, $t$ — время в секундах.)

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Зависимость угла поворота маховика от времени задана уравнением $\phi(t) = 4t - 0.3t^2$.

Угловая скорость $\omega(t)$ является первой производной от угла поворота $\phi(t)$ по времени $t$. Это следует из определения мгновенной угловой скорости в кинематике вращательного движения.

$\omega(t) = \phi'(t) = \frac{d\phi}{dt}$

Найдем производную от заданной функции:

$\omega(t) = \frac{d}{dt}(4t - 0.3t^2) = (4t)' - (0.3t^2)'$

Применяя правила дифференцирования степенной функции, получаем:

$\omega(t) = 4 \cdot 1 - 0.3 \cdot 2t = 4 - 0.6t$

Таким образом, уравнение для угловой скорости маховика: $\omega(t) = 4 - 0.6t$.

а) угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени t = 2 c;

Для нахождения угловой скорости в конкретный момент времени $t = 2$ с, подставим это значение в полученное уравнение для $\omega(t)$:

$\omega(2) = 4 - 0.6 \cdot 2 = 4 - 1.2 = 2.8$

Так как угол измеряется в радианах, а время в секундах, то угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: $\omega(2) = 2.8$ рад/с.

б) такой момент времени, когда маховик остановится.

Маховик остановится в тот момент времени, когда его угловая скорость станет равной нулю, то есть $\omega(t) = 0$.

Составим и решим уравнение:

$4 - 0.6t = 0$

Перенесем член с $t$ в правую часть уравнения:

$0.6t = 4$

Выразим $t$:

$t = \frac{4}{0.6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$

Вычислим приближенное значение:

$t \approx 6.67$ с.

Ответ: маховик остановится в момент времени $t = \frac{20}{3}$ с $\approx 6.67$ с.