Страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

269.— Вращение тела вокруг оси совершается по закону $\varphi (t) = 3t^2 - 4t + 2$. Найдите угловую скорость $\omega (t)$ в произвольный момент времени $t$ и при $t = 4$ с. ($\varphi (t)$ — угол в радианах, $\omega (t)$ — скорость в радианах в секунду, $t$ — время в секундах.)

Нахождение угловой скорости $\omega(t)$ в произвольный момент времени $t$

Угловая скорость $\omega(t)$ является первой производной от угла поворота $\varphi(t)$ по времени $t$. Это физический смысл производной в данной задаче.

Формула связи: $\omega(t) = \varphi'(t)$.

Закон вращения тела задан функцией: $\varphi(t) = 3t^2 - 4t + 2$.

Чтобы найти функцию угловой скорости $\omega(t)$, необходимо найти производную функции $\varphi(t)$ по времени $t$:

$\omega(t) = \varphi'(t) = (3t^2 - 4t + 2)'$

Используем правила дифференцирования:

$(3t^2)' = 3 \cdot 2 \cdot t^{2-1} = 6t$

$(4t)' = 4 \cdot 1 \cdot t^{1-1} = 4$

$(2)' = 0$

Складываем полученные результаты:

$\omega(t) = 6t - 4 + 0 = 6t - 4$.

Таким образом, угловая скорость в произвольный момент времени $t$ выражается формулой $\omega(t) = 6t - 4$ (рад/с).

Ответ: $\omega(t) = 6t - 4$.

Нахождение угловой скорости $\omega(t)$ при $t=4$ с

Для того чтобы найти угловую скорость в конкретный момент времени $t = 4$ с, нужно подставить это значение в полученную ранее формулу для $\omega(t)$.

$\omega(4) = 6 \cdot 4 - 4$

Выполняем вычисления:

$\omega(4) = 24 - 4 = 20$.

Следовательно, в момент времени $t=4$ с угловая скорость тела составляет 20 рад/с.

Ответ: $\omega(4) = 20$ рад/с.

270.- Маховик, задерживаемый тормозом, за время $t$ поворачивается на угол $\varphi (t) = 4t - 0,3t^2$. Найдите:

а) угловую скорость $\omega (t)$ вращения маховика в момент времени $t = 2 \text{ с}$;

б) такой момент времени, когда маховик остановится.

($\omega (t)$ — угол в радианах, $t$ — время в секундах.)

Зависимость угла поворота маховика от времени задана уравнением $\phi(t) = 4t - 0.3t^2$.

Угловая скорость $\omega(t)$ является первой производной от угла поворота $\phi(t)$ по времени $t$. Это следует из определения мгновенной угловой скорости в кинематике вращательного движения.

$\omega(t) = \phi'(t) = \frac{d\phi}{dt}$

Найдем производную от заданной функции:

$\omega(t) = \frac{d}{dt}(4t - 0.3t^2) = (4t)' - (0.3t^2)'$

Применяя правила дифференцирования степенной функции, получаем:

$\omega(t) = 4 \cdot 1 - 0.3 \cdot 2t = 4 - 0.6t$

Таким образом, уравнение для угловой скорости маховика: $\omega(t) = 4 - 0.6t$.

а) угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени t = 2 c;

Для нахождения угловой скорости в конкретный момент времени $t = 2$ с, подставим это значение в полученное уравнение для $\omega(t)$:

$\omega(2) = 4 - 0.6 \cdot 2 = 4 - 1.2 = 2.8$

Так как угол измеряется в радианах, а время в секундах, то угловая скорость измеряется в радианах в секунду (рад/с).

Ответ: $\omega(2) = 2.8$ рад/с.

б) такой момент времени, когда маховик остановится.

Маховик остановится в тот момент времени, когда его угловая скорость станет равной нулю, то есть $\omega(t) = 0$.

Составим и решим уравнение:

$4 - 0.6t = 0$

Перенесем член с $t$ в правую часть уравнения:

$0.6t = 4$

Выразим $t$:

$t = \frac{4}{0.6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$

Вычислим приближенное значение:

$t \approx 6.67$ с.

Ответ: маховик остановится в момент времени $t = \frac{20}{3}$ с $\approx 6.67$ с.

271.— Точка движется прямолинейно по закону $x (t) = 2t^3 + t - 1$.

Найдите ускорение в момент времени $t$. В какой момент времени ускорение будет равно:

a) $1 \text{ см}/\text{с}^2$;

б) $2 \text{ см}/\text{с}^2$?

($x (t)$ — перемещение в сантиметрах, $t$ — время в секундах.)

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = 2t^3 + t - 1$, где $x(t)$ — перемещение в сантиметрах, а $t$ — время в секундах.

Чтобы найти ускорение, необходимо найти вторую производную от функции перемещения по времени.

Сначала найдем мгновенную скорость $v(t)$, которая является первой производной от перемещения $x(t)$:
$v(t) = x'(t) = (2t^3 + t - 1)' = 2 \cdot 3t^2 + 1 - 0 = 6t^2 + 1$ (см/с).

Теперь найдем ускорение $a(t)$, которое является первой производной от скорости $v(t)$:
$a(t) = v'(t) = (6t^2 + 1)' = 6 \cdot 2t + 0 = 12t$ (см/с²).

Таким образом, ускорение точки в момент времени $t$ выражается формулой $a(t) = 12t$. Теперь найдем, в какие моменты времени ускорение будет равно заданным значениям.

а) Найдем время $t$, когда ускорение равно 1 см/с².
Для этого решим уравнение, приравняв выражение для ускорения к 1:
$12t = 1$
$t = \frac{1}{12}$
Ответ: ускорение равно 1 см/с² в момент времени $t = \frac{1}{12}$ с.

б) Найдем время $t$, когда ускорение равно 2 см/с².
Для этого решим уравнение, приравняв выражение для ускорения к 2:
$12t = 2$
$t = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
Ответ: ускорение равно 2 см/с² в момент времени $t = \frac{1}{6}$ с.

272.— Точка движется прямолинейно по закону $x (t) = -\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Найдите:

a) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;

б) скорость движения точки в этот момент.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = -\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5$.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $x'(t)$. Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени $x''(t)$ или первой производной от скорости $v'(t)$.

а) Найдем момент времени t, когда ускорение точки равно нулю.

Сначала найдем функцию скорости $v(t)$, взяв первую производную от функции координаты $x(t)$:

$v(t) = x'(t) = \left(-\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5\right)' = -\frac{3t^2}{6} + 2 \cdot 3t^1 - 0 = -\frac{t^2}{2} + 6t$.

Теперь найдем функцию ускорения $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = \left(-\frac{t^2}{2} + 6t\right)' = -\frac{2t}{2} + 6 = -t + 6$.

Чтобы найти момент времени, когда ускорение равно нулю, приравняем полученное выражение для $a(t)$ к нулю и решим уравнение:

$a(t) = 0$

$-t + 6 = 0$

$t = 6$

Ответ: Ускорение точки равно нулю в момент времени $t = 6$ с.

б) Найдем скорость движения точки в этот момент.

Для этого подставим найденное значение времени $t = 6$ с в выражение для скорости $v(t) = -\frac{t^2}{2} + 6t$:

$v(6) = -\frac{6^2}{2} + 6 \cdot 6 = -\frac{36}{2} + 36 = -18 + 36 = 18$.

Так как координата измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в м/с.

Ответ: Скорость движения точки в этот момент равна $18$ м/с.

273.- Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \sqrt{t}$. Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.

Чтобы доказать, что ускорение точки пропорционально кубу ее скорости, необходимо сначала найти выражения для скорости $v(t)$ и ускорения $a(t)$ как функции времени, а затем установить между ними требуемую зависимость.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = \sqrt{t}$.

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $t$. Запишем закон движения в виде $x(t) = t^{1/2}$ и продифференцируем:
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2} t^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} t^{-1/2}$.

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени $t$, или первой производной от скорости:
$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} t^{-1/2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) t^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{4} t^{-3/2}$.

Теперь необходимо показать, что $a(t)$ пропорционально $[v(t)]^3$. Это означает, что существует такая константа $k$, что $a(t) = k \cdot [v(t)]^3$.
Найдем куб скорости, используя полученное выражение для $v(t)$:
$[v(t)]^3 = \left( \frac{1}{2} t^{-1/2} \right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 (t^{-1/2})^3 = \frac{1}{8} t^{-3/2}$.
Из этого соотношения выразим $t^{-3/2}$:
$t^{-3/2} = 8 [v(t)]^3$.
Теперь подставим это выражение в формулу для ускорения $a(t) = -\frac{1}{4} t^{-3/2}$:
$a(t) = -\frac{1}{4} (8 [v(t)]^3) = -2 [v(t)]^3$.

Мы получили соотношение $a(t) = -2[v(t)]^3$. Это означает, что ускорение прямо пропорционально кубу скорости с коэффициентом пропорциональности $k = -2$. Утверждение доказано.

Ответ: Для точки, движущейся по закону $x(t)=\sqrt{t}$, ее скорость $v(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}$ и ускорение $a(t)=-\frac{1}{4}t^{-3/2}$. Выражая ускорение через скорость, получаем $a(t)=-2[v(t)]^3$, что и доказывает пропорциональность ускорения кубу скорости с коэффициентом $k=-2$.

Найдите силу $F$, действующую на материальную точку с массой $m$, движущуюся прямолинейно по закону $x(t) = 2t^3 - t^2$ при $t = 2$.

Согласно второму закону Ньютона, сила $F$, действующая на материальную точку, равна произведению массы точки $m$ на ее ускорение $a$:

$F = m \cdot a$

Ускорение является второй производной от координаты по времени. Закон движения точки задан уравнением:

$x(t) = 2t^3 - t^2$

Найдем первую производную от координаты по времени, чтобы получить зависимость скорости от времени $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 - t^2) = 2 \cdot 3t^{3-1} - 2t^{2-1} = 6t^2 - 2t$

Найдем вторую производную от координаты по времени, которая является первой производной от скорости, чтобы получить зависимость ускорения от времени $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 - 2t) = 6 \cdot 2t^{2-1} - 2 \cdot 1t^{1-1} = 12t - 2$

Теперь вычислим значение ускорения в момент времени $t = 2$, подставив это значение в полученную формулу для ускорения:

$a(2) = 12 \cdot 2 - 2 = 24 - 2 = 22$

Наконец, подставим найденное значение ускорения в формулу второго закона Ньютона, чтобы найти силу $F$, действующую на точку в момент времени $t=2$:

$F = m \cdot a(2) = m \cdot 22 = 22m$

Ответ: $F = 22m$.

275. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 + t + 1$. Координата $x$ измеряется в сантиметрах, время $t$ — в секундах. Найдите:

a) действующую силу;

б) кинетическую энергию $E$ тела через 2 с после начала движения.

а) Для нахождения действующей силы $F$ используется второй закон Ньютона: $F = m \cdot a$, где $m$ — масса тела, а $a$ — его ускорение.

Сначала необходимо привести все величины к системе СИ. Масса $m = 2$ кг уже в СИ. Координата $x$ дана в сантиметрах, переведем ее в метры: $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Таким образом, закон движения в метрах имеет вид: $x(t) = (t^2 + t + 1) \cdot 0.01 = 0.01t^2 + 0.01t + 0.01$ м.

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $x(t)$: $v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(0.01t^2 + 0.01t + 0.01) = 2 \cdot 0.01t + 0.01 = 0.02t + 0.01$ м/с.

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты или первой производной от скорости: $a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(0.02t + 0.01) = 0.02$ м/с².

Ускорение является постоянной величиной. Теперь можно рассчитать действующую силу: $F = m \cdot a = 2 \text{ кг} \cdot 0.02 \text{ м/с²} = 0.04$ Н.

Ответ: $0.04 \text{ Н}$.

б) Кинетическая энергия $E$ тела вычисляется по формуле: $E = \frac{1}{2}mv^2$.

Найдем скорость тела в момент времени $t = 2$ с, используя выведенное ранее уравнение для скорости $v(t) = 0.02t + 0.01$ м/с: $v(2) = 0.02 \cdot 2 + 0.01 = 0.04 + 0.01 = 0.05$ м/с.

Теперь вычислим кинетическую энергию в этот момент времени, подставив массу $m = 2$ кг и найденную скорость $v = 0.05$ м/с в формулу: $E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v(2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (0.05 \text{ м/с})^2 = 1 \cdot 0.0025 = 0.0025$ Дж.

Ответ: $0.0025 \text{ Дж}$.

276. Известно, что для любой точки C стержня AB длиной 20 см, отстоящей от точки A на расстояние $l$, масса куска стержня AC в граммах определяется по формуле $m(l) = 3l^2 + 5l$. Найдите линейную плотность стержня:

а) в середине отрезка AB;

б) в конце B стержня.

По условию задачи, масса $m$ куска стержня длиной $l$, отсчитываемой от точки А, задается функцией $m(l) = 3l^2 + 5l$.

Линейная плотность стержня $\rho(l)$ в точке, находящейся на расстоянии $l$ от конца A, определяется как производная массы по длине. Это является физическим смыслом производной в данном контексте. $$ \rho(l) = m'(l) = \frac{dm}{dl} $$

Найдем производную от заданной функции массы, используя правила дифференцирования: $$ \rho(l) = (3l^2 + 5l)' = (3l^2)' + (5l)' = 2 \cdot 3l^{2-1} + 5l^{1-1} = 6l + 5 $$ Таким образом, функция, описывающая линейную плотность стержня в зависимости от расстояния $l$ от точки A, имеет вид $\rho(l) = 6l + 5$. Единицами измерения плотности являются граммы на сантиметр (г/см).

а) в середине отрезка AB

Длина всего стержня AB составляет 20 см. Середина стержня находится на расстоянии $l$ от точки A, равном половине его длины: $$ l = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} $$ Подставим это значение в полученную формулу для линейной плотности: $$ \rho(10) = 6 \cdot 10 + 5 = 60 + 5 = 65 \text{ г/см} $$ Ответ: 65 г/см.

б) в конце B стержня

Конец B стержня соответствует его полной длине. Таким образом, расстояние от точки A до точки B равно: $$ l = 20 \text{ см} $$ Подставим это значение в формулу для линейной плотности: $$ \rho(20) = 6 \cdot 20 + 5 = 120 + 5 = 125 \text{ г/см} $$ Ответ: 125 г/см.

277. По прямой движутся две материальные точки по законам $x_1 (t) = 4t^2 - 3$ и $x_2 (t) = t^3$. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Чтобы найти, в каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй, нам необходимо сначала найти функции скорости для каждой точки. Скорость является первой производной от координаты по времени $v(t) = x'(t)$.

1. Найдем функцию скорости для первой материальной точки:
$v_1(t) = x_1'(t) = (4t^2 - 3)' = 4 \cdot 2t - 0 = 8t$.

2. Найдем функцию скорости для второй материальной точки:
$v_2(t) = x_2'(t) = (t^3)' = 3t^2$.

3. Теперь составим и решим неравенство, исходя из условия задачи, что скорость первой точки больше скорости второй ($v_1(t) > v_2(t)$):
$8t > 3t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство:
$8t - 3t^2 > 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(8 - 3t) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $t(8 - 3t) = 0$.
Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $8 - 3t = 0 \implies 3t = 8 \implies t_2 = \frac{8}{3}$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{8}{3})$, $(\frac{8}{3}, +\infty)$.
Так как мы имеем дело с параболой $y = -3t^2 + 8t$, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный), то положительные значения функция принимает между корнями.
Следовательно, неравенство $t(8 - 3t) > 0$ выполняется на интервале $(0, \frac{8}{3})$.

Поскольку время $t$ по физическому смыслу не может быть отрицательным ($t \ge 0$), полученное решение $t \in (0, \frac{8}{3})$ является искомым промежутком времени.

Ответ: скорость первой точки больше скорости второй точки в промежутке времени $t \in (0, \frac{8}{3})$.

278.- Из пункта O по двум лучам, угол между которыми 60°, движутся два тела: первое — равномерно со скоростью 5 км/ч, второе — по закону $s(t) = 2t^2 + t$. С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t — в секундах.)

В условии задачи имеется несоответствие в единицах измерения. Скорость первого тела дана в километрах в час (км/ч), в то время как для второго тела закон движения $s(t) = 2t^2 + t$ предполагает, что время $t$ измеряется в секундах, а расстояние $s$ — в километрах. Наиболее вероятным является предположение, что указание в скобках `(s измеряется в километрах, t — в секундах)` задает единую систему единиц для всей задачи. В этом случае скорость первого тела, заданная как "5 км/ч", следует либо считать опечаткой и иметь в виду 5 км/с, либо перевести в км/с. Перевод 5 км/ч в км/с дает очень малую величину ($5/3600 \text{ км/с}$), что приводит к громоздким вычислениям и маловероятному ответу. Будем считать, что имелась в виду скорость 5 км/с, чтобы сохранить простоту чисел, характерную для учебных задач. Таким образом, принимаем, что первое тело движется равномерно со скоростью $v_1 = 5 \text{ км/с}$.

Определим законы движения и скорости для каждого тела в зависимости от времени $t$ (в секундах).

1. Первое тело:
Движется равномерно, поэтому расстояние от точки O равно $s_1(t) = v_1 \cdot t$.$s_1(t) = 5t$ (км).
Скорость первого тела постоянна: $v_1(t) = s_1'(t) = 5$ км/с.

2. Второе тело:
Расстояние от точки O дано по закону $s_2(t) = 2t^2 + t$ (км).
Скорость второго тела найдем, взяв производную от расстояния по времени:$v_2(t) = s_2'(t) = (2t^2 + t)' = 4t + 1$ км/с.

Скорость, с которой тела удаляются друг от друга (скорость разделения), в общем случае зависит от времени. Однако вопрос "С какой скоростью они удаляются друг от друга?" предполагает нахождение одного конкретного значения. В таких задачах, как правило, требуется найти начальную скорость разделения, то есть скорость в момент времени $t=0$.

В начальный момент времени ($t=0$) оба тела находятся в точке O ($s_1(0) = 0$, $s_2(0) = 0$). Когда два объекта начинают движение из одной точки, начальная скорость их разделения равна модулю вектора относительной скорости.

Найдем скорости тел в момент времени $t=0$:
$v_1(0) = 5$ км/с.
$v_2(0) = 4(0) + 1 = 1$ км/с.

Векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ направлены по лучам, угол между которыми составляет $\alpha = 60^\circ$. Модуль вектора относительной скорости $|\vec{v_2} - \vec{v_1}|$ можно найти по теореме косинусов для векторов:

$|\vec{v_2} - \vec{v_1}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 - 2|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cos(\alpha)$

Подставим значения скоростей при $t=0$ и угол $\alpha = 60^\circ$ ($\cos(60^\circ) = 0.5$):

$v_{sep}(0)^2 = v_1(0)^2 + v_2(0)^2 - 2v_1(0)v_2(0)\cos(60^\circ)$$v_{sep}(0)^2 = 5^2 + 1^2 - 2 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 0.5$$v_{sep}(0)^2 = 25 + 1 - 5$$v_{sep}(0)^2 = 21$

Отсюда, начальная скорость удаления тел друг от друга:

$v_{sep}(0) = \sqrt{21}$ км/с.

Ответ: тела удаляются друг от друга со скоростью $\sqrt{21}$ км/с. (Это начальная скорость удаления, которая в данном случае является наиболее вероятным ответом на вопрос задачи).