Страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

279.—

a) $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x$;

б) $f(x) = -x^2 + 2x - 3$;

B) $f(x) = 4x - 5$;

г) $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$.

а) Дана функция $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x$.

Это линейная функция. Для нахождения ее производной, $f'(x)$, мы используем следующие правила дифференцирования:

1. Производная разности функций равна разности их производных: $(u - v)' = u' - v'$.

2. Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.

3. Производная функции вида $kx$ равна коэффициенту $k$: $(kx)' = k$.

Применим эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (3 - \frac{1}{2}x)' = (3)' - (\frac{1}{2}x)'$.

Согласно правилу 2, производная от константы 3 равна 0: $(3)' = 0$.

Согласно правилу 3, производная от $\frac{1}{2}x$ равна $\frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2}x)' = \frac{1}{2}$.

Следовательно, производная функции равна: $f'(x) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2}$.

б) Дана функция $f(x) = -x^2 + 2x - 3$.

Это квадратичная функция. Для нахождения ее производной мы используем правило дифференцирования суммы/разности и степенное правило: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Найдем производную поэлементно:

$f'(x) = (-x^2 + 2x - 3)' = (-x^2)' + (2x)' - (3)'$.

Используя степенное правило, производная от $-x^2$ равна $-2x^{2-1} = -2x$.

Производная от $2x$ равна $2$.

Производная константы $-3$ равна $0$.

Складывая результаты, получаем: $f'(x) = -2x + 2 - 0 = -2x + 2$.

Ответ: $f'(x) = -2x + 2$.

в) Дана функция $f(x) = 4x - 5$.

Это линейная функция. Процесс нахождения производной аналогичен пункту а).

$f'(x) = (4x - 5)' = (4x)' - (5)'$.

Производная от $4x$ равна $4$.

Производная от константы $-5$ равна $0$.

Таким образом, $f'(x) = 4 - 0 = 4$.

Ответ: $f'(x) = 4$.

г) Дана функция $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$.

Это квадратичная функция. Для нахождения ее производной применяем те же правила, что и в пункте б).

$f'(x) = (5x^2 - 3x + 1)' = (5x^2)' - (3x)' + (1)'$.

Используя степенное правило и правило вынесения константы за знак производной ($(cf(x))' = cf'(x)$), получаем:

$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$.

Производная от $-3x$ равна $-3$.

Производная от константы $1$ равна $0$.

Собрав все вместе, получаем: $f'(x) = 10x - 3 + 0 = 10x - 3$.

Ответ: $f'(x) = 10x - 3$.

280. a) $f(x) = -\frac{2}{x} + 1;$

б) $f(x) = x^2 (x - 3);$

в) $f(x) = \frac{x-3}{x};$

г) $f(x) = x^3 - 27x.$

а) $f(x) = -\frac{2}{x} + 1$

1. Найдём область определения функции.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(-\frac{2}{x} + 1\right)' = (-2x^{-1} + 1)' = -2 \cdot (-1)x^{-2} + 0 = \frac{2}{x^2}$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{2}{x^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений, так как числитель дроби $2 \neq 0$. Производная не существует в точке $x = 0$, но эта точка не входит в область определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то производная $f'(x) = \frac{2}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения.

5. Найдём промежутки возрастания и убывания.
Так как $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Промежутков убывания нет. Точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точек экстремума нет.

б) $f(x) = x^2(x - 3)$

1. Преобразуем функцию и найдём область определения.
$f(x) = x^3 - 3x^2$.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (0; 2)$, например $x=1$, $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

5. Найдём точки экстремума.
В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$.
В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 2]$, $x_{max} = 0$, $x_{min} = 2$.

в) $f(x) = \frac{x - 3}{x}$

1. Преобразуем функцию и найдём область определения.
$f(x) = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 1 - \frac{3}{x}$.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$.
Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = \left(1 - \frac{3}{x}\right)' = (1 - 3x^{-1})' = -3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{3}{x^2}$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{3}{x^2} = 0$.
Это уравнение не имеет решений. Производная не существует в точке $x = 0$, но эта точка не входит в область определения функции. Критических точек нет.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Так как $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $f'(x) = \frac{3}{x^2}$ всегда положительна на всей области определения.

5. Найдём промежутки возрастания и убывания.
Поскольку $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Промежутков убывания и точек экстремума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, точек экстремума нет.

г) $f(x) = x^3 - 27x$

1. Найдём область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
$f'(x) = (x^3 - 27x)' = 3x^2 - 27$.

3. Найдём критические точки.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$3x^2 - 27 = 0$
$3x^2 = 27$
$x^2 = 9$
Критические точки: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах.
Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.
При $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$, $f'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (-3; 3)$, например $x=0$, $f'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$. Функция убывает.
При $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$, $f'(4) = 3(4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.

5. Найдём точки экстремума.
В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) = -27 + 81 = 54$.
В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(3) = 3^3 - 27(3) = 27 - 81 = -54$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 3]$, $x_{max} = -3$, $x_{min} = 3$.

281.-

a) $f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3;$

б) $f(x) = 4 - x^4;$

В) $f(x) = x (x^2 - 12);$

г) $f(x) = \frac{3}{x^2}.$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо найти ее производную, приравнять к нулю для нахождения критических точек, а затем исследовать знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва разбивают область определения функции.

а) $f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (12x + 3x^2 - 2x^3)' = 12 + 6x - 6x^2$

3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-6x^2 + 6x + 12 = 0$

Делим обе части на $-6$:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

$f'(x) = -6(x-2)(x+1)$

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$, $f'(-2) = -6(-4)(-1) = -24 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 2)$, например $x=0$, $f'(0) = 12 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $f'(3) = -6(1)(4) = -24 < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$f_{min} = f(-1) = 12(-1) + 3(-1)^2 - 2(-1)^3 = -12 + 3 + 2 = -7$.

$f_{max} = f(2) = 12(2) + 3(2)^2 - 2(2)^3 = 24 + 12 - 16 = 20$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -1$, минимум функции $f_{min} = -7$. Точка максимума $x_{max} = 2$, максимум функции $f_{max} = 20$.

б) $f(x) = 4 - x^4$

1. Область определения функции — $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (4 - x^4)' = -4x^3$

3. Находим критические точки, решая $f'(x) = 0$:

$-4x^3 = 0 \implies x = 0$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x > 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

6. Находим максимум функции:

$f_{max} = f(0) = 4 - 0^4 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $f_{max} = 4$.

в) $f(x) = x(x^2 - 12)$

1. Раскроем скобки: $f(x) = x^3 - 12x$. Область определения — $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12$

3. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

$f'(x) = 3(x-2)(x+2)$

• При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.

6. Находим экстремумы:

$f_{max} = f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$.

$f_{min} = f(2) = 2^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 2]$. Точка максимума $x_{max} = -2$, максимум функции $f_{max} = 16$. Точка минимума $x_{min} = 2$, минимум функции $f_{min} = -16$.

г) $f(x) = \frac{3}{x^2}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Представим функцию в виде $f(x) = 3x^{-2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (3x^{-2})' = 3 \cdot (-2)x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$

3. Производная $f'(x)$ нигде не равна нулю. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = -\frac{6}{(-1)^3} = 6 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; +\infty)$, например $x=1$, $f'(1) = -\frac{6}{1^3} = -6 < 0$, функция убывает.

5. Так как точка $x=0$ является точкой разрыва и не принадлежит области определения, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, убывает на промежутке $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет.

282. Постройте эскиз графика функции $f$, удовлетворяющей условиям:

а) $D(f) = [-2; 5]$, $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 5);$

б) $D(f) = [1; 6]$, $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 3) \cup (3; 6)$, $f'(3) = 0;$

в) $D(f) = [-2; 5]$, $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 1) \cup (1; 5)$, $f'(1) = 0;$

г) $D(f) = [1; 6]$, $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 6).$

а)

Согласно условию, область определения функции $D(f) = [-2; 5]$. Это означает, что график функции существует только для значений $x$ в этом промежутке, включая концы. Условие $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 5)$ означает, что производная функции положительна на всем интервале определения, за исключением, возможно, конечных точек. Положительная производная указывает на то, что функция является строго возрастающей. Таким образом, эскиз графика должен представлять собой кривую, которая начинается в точке с абсциссой $x = -2$ и заканчивается в точке с абсциссой $x = 5$, и на всем этом протяжении график идет вверх. На графике нет точек максимума или минимума, и нет участков, где функция убывает или постоянна.
Простейшим примером такого графика является отрезок прямой, соединяющий, например, точки $(-2, 1)$ и $(5, 4)$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго возрастающую кривую на отрезке $[-2; 5]$.

б)

Область определения функции $D(f) = [1; 6]$. График существует на отрезке от $x = 1$ до $x = 6$. Условие $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 3) \cup (3; 6)$ означает, что функция является строго убывающей на интервалах $(1; 3)$ и $(3; 6)$. Условие $f'(3) = 0$ означает, что в точке $x = 3$ касательная к графику горизонтальна. Это точка стационарности. Так как функция убывает как до точки $x = 3$, так и после нее, точка $x=3$ не является точкой экстремума. Это точка перегиба с горизонтальной касательной (иногда называемая седловой точкой). Функция убывает на всей своей области определения $[1; 6]$.
Эскиз графика — это кривая, которая начинается в точке с абсциссой $x = 1$ и непрерывно идет вниз до точки с абсциссой $x = 6$. В точке $x = 3$ кривая "выравнивается", имея горизонтальную касательную, а затем продолжает свое снижение. Примером такой функции может служить $f(x) = -(x-3)^3$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго убывающую кривую на отрезке $[1; 6]$, имеющую в точке $x = 3$ перегиб с горизонтальной касательной.

в)

Область определения функции $D(f) = [-2; 5]$. График существует на отрезке от $x = -2$ до $x = 5$. Условие $f'(x) > 0$ при $x \in (-2; 1) \cup (1; 5)$ означает, что функция является строго возрастающей на интервалах $(-2; 1)$ и $(1; 5)$. Условие $f'(1) = 0$ означает, что в точке $x = 1$ касательная к графику горизонтальна (стационарная точка). Поскольку функция возрастает как до, так и после точки $x = 1$, эта точка не является экстремумом. Это точка перегиба с горизонтальной касательной. Функция возрастает на всей своей области определения $[-2; 5]$.
Эскиз графика — это кривая, которая начинается в точке с абсциссой $x = -2$ и непрерывно идет вверх до точки с абсциссой $x = 5$. В точке $x = 1$ кривая имеет горизонтальную касательную, после чего продолжает свой рост. Примером такой функции может служить $f(x) = (x-1)^3$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго возрастающую кривую на отрезке $[-2; 5]$, имеющую в точке $x = 1$ перегиб с горизонтальной касательной.

г)

Область определения функции $D(f) = [1; 6]$. Условие $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 6)$ означает, что производная функции отрицательна на всем интервале определения (кроме, возможно, концов). Отрицательная производная указывает на то, что функция является строго убывающей.
Эскиз графика должен представлять собой кривую, которая начинается в точке с абсциссой $x = 1$ и заканчивается в точке с абсциссой $x = 6$, и на всем этом протяжении график идет вниз. На графике нет точек максимума, минимума или перегибов с горизонтальной касательной. Простейшим примером является отрезок прямой с отрицательным наклоном, например, соединяющий точки $(1, 6)$ и $(6, 1)$.

Ответ: Эскиз представляет собой непрерывную, строго убывающую кривую на отрезке $[1; 6]$.

Найдите промежутки возрастания и убывания и постройте графики функций (283—284).

283.—

a) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1;$

б) $f(x) = 4x^3 - 1.5x^4;$

в) $f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3;$

г) $f(x) = x^4 - 2x^2.$

а) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 1)' = 3x^2 + 6x - 9$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
$(x+3)(x-1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$: $f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$, значит, функция возрастает.
- При $x \in (-3, 1)$, например $x=0$: $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$, значит, функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, например $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$, значит, функция возрастает.

5. Найдем точки экстремума.
- В точке $x = -3$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$f_{max} = f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28$.
Точка максимума: $(-3, 28)$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$f_{min} = f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4$.
Точка минимума: $(1, -4)$.

6. Для построения графика найдем еще несколько точек:
$f(0) = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$, убывает на промежутке $[-3, 1]$.

б) $f(x) = 4x^3 - 1,5x^4$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (4x^3 - 1,5x^4)' = 12x^2 - 6x^3$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$12x^2 - 6x^3 = 0$
$6x^2(2 - x) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = 6(-1)^2(2 - (-1)) = 6(1)(3) = 18 > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, 2)$, например $x=1$: $f'(1) = 6(1)^2(2 - 1) = 6(1)(1) = 6 > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2, \infty)$, например $x=3$: $f'(3) = 6(3)^2(2 - 3) = 54(-1) = -54 < 0$, функция убывает.
Поскольку в точке $x=0$ производная не меняет знак, эта точка не является точкой экстремума (это точка перегиба).

5. Найдем точку экстремума.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$f_{max} = f(2) = 4(2)^3 - 1,5(2)^4 = 4(8) - 1,5(16) = 32 - 24 = 8$.
Точка максимума: $(2, 8)$.

6. Для построения графика найдем точки пересечения с осями:
$f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$ - начало координат.
$f(x) = 0 \implies x^3(4 - 1,5x) = 0 \implies x=0$ или $4 - 1,5x = 0 \implies x = \frac{4}{1,5} = \frac{8}{3}$.
Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(\frac{8}{3}, 0)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$, убывает на промежутке $[2, \infty)$.

в) $f(x) = 2 + 9x + 3x^2 - x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2 + 9x + 3x^2 - x^3)' = 9 + 6x - 3x^2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-3x^2 + 6x + 9 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ и $(3, \infty)$.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$: $f'(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, 3)$, например $x=0$: $f'(0) = 9 > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (3, \infty)$, например $x=4$: $f'(4) = -3(4)^2 + 6(4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 < 0$, функция убывает.

5. Найдем точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума.
$f_{min} = f(-1) = 2 + 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = 2 - 9 + 3 + 1 = -3$.
Точка минимума: $(-1, -3)$.
- В точке $x = 3$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума.
$f_{max} = f(3) = 2 + 9(3) + 3(3)^2 - (3)^3 = 2 + 27 + 27 - 27 = 29$.
Точка максимума: $(3, 29)$.

6. Дополнительная точка: пересечение с осью OY при $x=0$, $f(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$, возрастает на промежутке $[-1, 3]$.

г) $f(x) = x^4 - 2x^2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси OY.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x-1)(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Определим знаки производной на интервалах.
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$: $f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-1, 0)$, например $x=-0,5$: $f'(-0,5) = 4(-0,5)^3 - 4(-0,5) = -0,5 + 2 = 1,5 > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0, 1)$, например $x=0,5$: $f'(0,5) = 4(0,5)^3 - 4(0,5) = 0,5 - 2 = -1,5 < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, например $x=2$: $f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$, функция возрастает.

5. Найдем точки экстремума.
- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $f_{min} = f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $f_{max} = f(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $f_{min} = f(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.

6. Найдем точки пересечения с осью OX: $f(x)=0 \implies x^2(x^2-2)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{2}$. Точки $(0,0), (\sqrt{2}, 0), (-\sqrt{2}, 0)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$.

284. a) $f(x) = 2 - \frac{4}{0,5x - 1}$;

б) $f(x) = |x - 3| - 2$;

в) $f(x) = 8x^2 - x^4$;

г) $f(x) = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$.

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $0,5x - 1 \neq 0$, откуда $0,5x \neq 1$ и $x \neq 2$.

Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $f(-x) = 2 - \frac{4}{0,5(-x) - 1} = 2 - \frac{4}{-0,5x - 1} = 2 + \frac{4}{0,5x + 1}$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Нули функции.

Решим уравнение $f(x) = 0$: $2 - \frac{4}{0,5x - 1} = 0 \implies 2 = \frac{4}{0,5x - 1}$.

$2(0,5x - 1) = 4 \implies 0,5x - 1 = 2 \implies 0,5x = 3 \implies x = 6$.

Функция пересекает ось Ox в точке $(6; 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота существует в точке разрыва, то есть при $x=2$.

Горизонтальную асимптоту найдем, вычислив предел функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} (2 - \frac{4}{0,5x - 1}) = 2 - 0 = 2$.

Следовательно, $y=2$ — горизонтальная асимптота.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем производную функции: $f'(x) = (2 - 4(0,5x - 1)^{-1})' = -4(-1)(0,5x-1)^{-2} \cdot 0,5 = \frac{2}{(0,5x - 1)^2}$.

Поскольку $(0,5x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $f'(x) > 0$ всегда.

Это означает, что функция возрастает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как производная нигде не равна нулю и не меняет знак, у функции нет точек экстремума.

6. Область значений.

Учитывая поведение функции около асимптот ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$) и то, что $y=2$ является горизонтальной асимптотой, область значений функции $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, не имеет экстремумов. Область определения: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная), $y=2$ (горизонтальная).

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Раскрытие модуля.

Функцию можно представить в кусочно-заданном виде:

$f(x) = \begin{cases} (x-3) - 2 = x-5, & \text{если } x \ge 3 \\ -(x-3) - 2 = -x+3-2 = 1-x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

3. Нули функции.

Решим уравнение $f(x)=0$: $|x - 3| - 2 = 0 \implies |x - 3| = 2$.

Отсюда $x-3=2$ или $x-3=-2$.

Получаем два корня: $x_1=5$ и $x_2=1$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем производную (для $x \neq 3$):

$f'(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

При $x < 3$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$.

При $x > 3$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

В точке $x=3$ производная не существует. Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+», $x=3$ является точкой минимума.

Значение функции в точке минимума: $f(3) = |3 - 3| - 2 = -2$.

5. Область значений.

Минимальное значение функции равно -2, а ветви графика уходят вверх до бесконечности. Таким образом, область значений $E(f) = [-2; +\infty)$.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$. Точка минимума $x=3$, $f_{min}=-2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-2; +\infty)$. Нули функции: $x=1, x=5$.

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $f(-x) = 8(-x)^2 - (-x)^4 = 8x^2 - x^4 = f(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Нули функции.

Решим уравнение $f(x)=0$: $8x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(8 - x^2) = 0$.

Корни: $x=0$ (кратности 2), $x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ и $x = -2\sqrt{2}$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы.

Найдем производную: $f'(x) = 16x - 4x^3 = 4x(4 - x^2) = 4x(2-x)(2+x)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x(2-x)(2+x) = 0$.

Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.

Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точки экстремума:

• $x=-2$ — точка максимума. $f(-2) = 8(-2)^2 - (-2)^4 = 32 - 16 = 16$.
• $x=0$ — точка минимума. $f(0) = 8(0)^2 - 0^4 = 0$.
• $x=2$ — точка максимума. $f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 = 32 - 16 = 16$.

5. Область значений.

Функция имеет два глобальных максимума в точках $x=\pm2$, равных 16. При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to -\infty$.

Следовательно, область значений $E(f) = (-\infty; 16]$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума $x=\pm2$, $f_{max}=16$. Точка минимума $x=0$, $f_{min}=0$. Область значений: $(-\infty; 16]$.

Проведем полное исследование данной функции.

1. Область определения функции.

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нули функции.

Решим уравнение $f(x)=0$: $|\frac{1}{x} - 1| = 0 \implies \frac{1}{x} - 1 = 0 \implies \frac{1}{x} = 1 \implies x=1$.

3. Асимптоты.

Вертикальная асимптота в точке разрыва $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} |\frac{1}{x} - 1| = \infty$.

Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} |\frac{1}{x} - 1| = |0 - 1| = 1$.

Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.

4. Промежутки монотонности и экстремумы.

Раскроем модуль, учитывая знак выражения $\frac{1}{x}-1$.

• При $x \in (0; 1)$, $\frac{1}{x} > 1$, поэтому $f(x) = \frac{1}{x} - 1$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$, $\frac{1}{x} < 1$, поэтому $f(x) = -(\frac{1}{x} - 1) = 1 - \frac{1}{x}$. $f'(x) = \frac{1}{x^2} > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$.

В точке $x=1$ производная не существует, и знак производной меняется с «−» на «+» (справа от 0), значит, это точка минимума.

$f(1) = |\frac{1}{1}-1| = 0$.

5. Область значений.

Функция принимает только неотрицательные значения, $f(x) \ge 0$. Минимальное значение равно 0. Максимального значения нет. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(0; 1]$. Точка минимума $x=1$, $f_{min}=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $[0; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная), $y=1$ (горизонтальная).

285. — Докажите, что функция f возрастает на R, а функция g убывает на R:

a) $f(x) = 3x + \cos 2x$;

б) $g(x) = -\frac{x^3}{3} - x$;

в) $f(x) = x^7 + 2x^5 + 3$;

г) $g(x) = -4x + \sin 3x$.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 3x + \cos 2x$ возрастает на всей числовой прямой (на $R$), нужно найти ее производную и показать, что она положительна для любого значения $x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x + \cos 2x)' = (3x)' + (\cos 2x)' = 3 - 2\sin 2x$.
Теперь оценим значение производной. Мы знаем, что область значений функции синус находится в промежутке от $-1$ до $1$, то есть:
$-1 \le \sin 2x \le 1$.
Умножим все части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-2) \ge -2\sin 2x \ge 1 \cdot (-2)$,
$2 \ge -2\sin 2x \ge -2$.
Прибавим ко всем частям неравенства $3$:
$3 + 2 \ge 3 - 2\sin 2x \ge 3 - 2$,
$5 \ge f'(x) \ge 1$.
Таким образом, производная $f'(x)$ всегда находится в промежутке $[1, 5]$, а значит, она всегда положительна ($f'(x) > 0$) при любом $x \in R$.
Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ возрастает на $R$.

б) Чтобы доказать, что функция $g(x) = -\frac{x^3}{3} - x$ убывает на всей числовой прямой (на $R$), найдем ее производную и покажем, что она отрицательна для любого значения $x$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (-\frac{x^3}{3} - x)' = (-\frac{1}{3} \cdot x^3)' - (x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = -x^2 - 1$.
Теперь оценим значение производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$:
$x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на $-1$:
$-x^2 \le 0$.
Вычтем из обеих частей $1$:
$-x^2 - 1 \le -1$.
Таким образом, производная $g'(x) = -x^2 - 1$ всегда меньше или равна $-1$, а значит, она всегда отрицательна ($g'(x) < 0$) при любом $x \in R$.
Следовательно, функция $g(x)$ убывает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $g(x)$ убывает на $R$.

в) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^7 + 2x^5 + 3$ возрастает на $R$, найдем ее производную и покажем, что она неотрицательна.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^7 + 2x^5 + 3)' = 7x^6 + 10x^4$.
Теперь оценим значение производной. Любое число в четной степени неотрицательно, поэтому $x^6 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Следовательно, $7x^6 \ge 0$ и $10x^4 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна:
$f'(x) = 7x^6 + 10x^4 \ge 0$.
Производная может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Найдем, при каких $x$ это происходит:
$7x^6 + 10x^4 = 0$
$x^4(7x^2 + 10) = 0$.
Выражение $7x^2 + 10$ всегда строго положительно. Значит, равенство выполняется только при $x^4 = 0$, то есть при $x=0$.
Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in R$ и обращается в ноль только в одной точке, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ возрастает на $R$.

г) Чтобы доказать, что функция $g(x) = -4x + \sin 3x$ убывает на $R$, найдем ее производную и покажем, что она отрицательна.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (-4x + \sin 3x)' = -4 + 3\cos 3x$.
Теперь оценим значение производной. Мы знаем, что область значений функции косинус находится в промежутке от $-1$ до $1$:
$-1 \le \cos 3x \le 1$.
Умножим все части неравенства на $3$:
$-3 \le 3\cos 3x \le 3$.
Прибавим ко всем частям неравенства $-4$ (или вычтем $4$):
$-4 - 3 \le -4 + 3\cos 3x \le -4 + 3$,
$-7 \le g'(x) \le -1$.
Таким образом, производная $g'(x)$ всегда находится в промежутке $[-7, -1]$, а значит, она всегда отрицательна ($g'(x) < 0$) при любом $x \in R$.
Следовательно, функция $g(x)$ убывает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $g(x)$ убывает на $R$.

286. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на каждом из данных промежутков $P_1$ и $P_2$:

а) $x^3 - 27x + 2 = 0, P_1 = [-1; 1], P_2 = [4; 6];$

б) $x^4 - 4x - 9 = 0, P_1 = [-2; 0], P_2 = [2; 3];$

в) $x^4 + 6x^2 - 8 = 0, P_1 = [-2; -1], P_2 = [1; 2];$

г) $-1 + 3x^2 - x^3 = 0, P_1 = [-2; 0], P_2 = [2; 3].$

Для доказательства того, что уравнение имеет единственный корень на заданном промежутке, мы воспользуемся двумя утверждениями, следующими из свойств непрерывных функций:

1. Теорема о промежуточном значении (следствие): Если непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция $f(x)$ принимает на его концах значения разных знаков (т.е. $f(a) \cdot f(b) < 0$), то на интервале $(a; b)$ существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.
2. Свойство монотонной функции: Если функция $f(x)$ строго монотонна (т.е. строго возрастает или строго убывает) на промежутке, то любое свое значение она принимает на этом промежутке не более одного раза. В частности, уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного корня. Монотонность функции можно определить по знаку ее производной: если $f'(x) > 0$ на интервале, функция строго возрастает; если $f'(x) < 0$, функция строго убывает.

Применим этот подход к каждому уравнению.

а) $x^3 - 27x + 2 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 27x + 2$. Эта функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-1; 1]$:

1. Проверим значения на концах промежутка:
$f(-1) = (-1)^3 - 27(-1) + 2 = -1 + 27 + 2 = 28$
$f(1) = 1^3 - 27(1) + 2 = 1 - 27 + 2 = -24$
Поскольку $f(-1) > 0$ и $f(1) < 0$, на интервале $(-1; 1)$ существует хотя бы один корень.

2. Исследуем на монотонность. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9)$.
Для любого $x \in [-1; 1]$, выполняется неравенство $0 \le x^2 \le 1$, следовательно $x^2 - 9 < 0$.
Таким образом, $f'(x) < 0$ на всем промежутке $[-1; 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на $P_1$, и, следовательно, может иметь не более одного корня.

Из (1) и (2) следует, что на промежутке $[-1; 1]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [4; 6]$:

1. Проверим значения на концах промежутка:
$f(4) = 4^3 - 27(4) + 2 = 64 - 108 + 2 = -42$
$f(6) = 6^3 - 27(6) + 2 = 216 - 162 + 2 = 56$
Поскольку $f(4) < 0$ и $f(6) > 0$, на интервале $(4; 6)$ существует хотя бы один корень.

2. Исследуем на монотонность. Производная $f'(x) = 3(x^2 - 9)$.
Для любого $x \in [4; 6]$, выполняется неравенство $16 \le x^2 \le 36$, следовательно $x^2 - 9 > 0$.
Таким образом, $f'(x) > 0$ на всем промежутке $[4; 6]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на $P_2$ и может иметь не более одного корня.

Из (1) и (2) следует, что на промежутке $[4; 6]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

б) $x^4 - 4x - 9 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 - 4x - 9$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; 0]$:

1. $f(-2) = (-2)^4 - 4(-2) - 9 = 16 + 8 - 9 = 15 > 0$
$f(0) = 0^4 - 4(0) - 9 = -9 < 0$
Так как значения на концах имеют разные знаки, корень на $(-2; 0)$ существует.

2. Производная: $f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.
Для $x \in [-2; 0]$, имеем $x^3 \le 0$, значит $x^3 - 1 < 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $[-2; 0]$, функция строго убывает и может иметь не более одного корня.

На промежутке $[-2; 0]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [2; 3]$:

1. $f(2) = 2^4 - 4(2) - 9 = 16 - 8 - 9 = -1 < 0$
$f(3) = 3^4 - 4(3) - 9 = 81 - 12 - 9 = 60 > 0$
Так как значения на концах имеют разные знаки, корень на $(2; 3)$ существует.

2. Производная: $f'(x) = 4(x^3 - 1)$.
Для $x \in [2; 3]$, имеем $x^3 \ge 8$, значит $x^3 - 1 > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ на $[2; 3]$, функция строго возрастает и может иметь не более одного корня.

На промежутке $[2; 3]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

в) $x^4 + 6x^2 - 8 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 + 6x^2 - 8$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; -1]$:

1. $f(-2) = (-2)^4 + 6(-2)^2 - 8 = 16 + 24 - 8 = 32 > 0$
$f(-1) = (-1)^4 + 6(-1)^2 - 8 = 1 + 6 - 8 = -1 < 0$
Существует корень на $(-2; -1)$.

2. Производная: $f'(x) = 4x^3 + 12x = 4x(x^2 + 6)$.
На промежутке $[-2; -1]$, множитель $x < 0$, а $x^2 + 6 > 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $[-2; -1]$, функция строго убывает.

На промежутке $[-2; -1]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [1; 2]$:

1. $f(1) = 1^4 + 6(1)^2 - 8 = 1 + 6 - 8 = -1 < 0$
$f(2) = 2^4 + 6(2)^2 - 8 = 16 + 24 - 8 = 32 > 0$
Существует корень на $(1; 2)$.

2. Производная: $f'(x) = 4x(x^2 + 6)$.
На промежутке $[1; 2]$, множитель $x > 0$ и $x^2 + 6 > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ на $[1; 2]$, функция строго возрастает.

На промежутке $[1; 2]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

г) $-1 + 3x^2 - x^3 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; 0]$:

1. $f(-2) = -(-2)^3 + 3(-2)^2 - 1 = 8 + 12 - 1 = 19 > 0$
$f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 < 0$
Существует корень на $(-2; 0)$.

2. Производная: $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
На интервале $(-2; 0)$, множитель $-3x > 0$ и $x - 2 < 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $(-2; 0)$. Функция строго убывает на $[-2; 0]$.

На промежутке $[-2; 0]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [2; 3]$:

1. $f(2) = -2^3 + 3(2)^2 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3 > 0$
$f(3) = -3^3 + 3(3)^2 - 1 = -27 + 27 - 1 = -1 < 0$
Существует корень на $(2; 3)$.

2. Производная: $f'(x) = -3x(x - 2)$.
На интервале $(2; 3)$, множитель $-3x < 0$ и $x - 2 > 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $(2; 3)$. Функция строго убывает на $[2; 3]$.

На промежутке $[2; 3]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.