Страница 141 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

267.— Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 5t$.

a) Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени $t$.

б) Найдите скорость в момент $t = 2$ с. (Перемещение измеряется в метрах.)

в) Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

а) Скорость движения материальной точки $v(t)$ является первой производной по времени $t$ от закона движения (координаты) $x(t)$.
Закон движения задан формулой: $x(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 5t$.
Найдем производную этой функции:
$v(t) = x'(t) = \left(-\frac{1}{3}t^3 + 2t^2 + 5t\right)' = -\frac{1}{3} \cdot (t^3)' + 2 \cdot (t^2)' + 5 \cdot (t)'$
$v(t) = -\frac{1}{3} \cdot 3t^2 + 2 \cdot 2t + 5 \cdot 1 = -t^2 + 4t + 5$.
Таким образом, формула для вычисления скорости движения в любой момент времени $t$ имеет вид:
Ответ: $v(t) = -t^2 + 4t + 5$.

б) Для нахождения скорости в момент времени $t = 2$ с, подставим значение $t=2$ в формулу скорости, полученную в пункте а):
$v(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.
Так как перемещение измеряется в метрах, а время в секундах, скорость измеряется в м/с.
Ответ: 9 м/с.

в) Точка остановится в тот момент времени, когда ее скорость станет равной нулю, то есть $v(t) = 0$.
Решим уравнение:
$-t^2 + 4t + 5 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}$
$t_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Так как время $t$ по физическому смыслу не может быть отрицательной величиной (движение начинается с момента $t \ge 0$), корень $t = -1$ не подходит.
Следовательно, точка остановится через 5 секунд после начала движения.
Ответ: через 5 секунд.

268. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^3 - 4t^2$. Найдите скорость и ускорение в момент $t = 5$ с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Задан закон прямолинейного движения материальной точки: $x(t) = t^3 - 4t^2$. Перемещение $x$ измеряется в метрах, а время $t$ — в секундах. Для нахождения скорости и ускорения в заданный момент времени необходимо найти первую и вторую производные функции перемещения по времени.

Скорость

Скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $x(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости, продифференцировав $x(t)$ по $t$:
$v(t) = x'(t) = (t^3 - 4t^2)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:
$v(t) = 3t^2 - 8t$

Теперь вычислим значение скорости в момент времени $t = 5$ с:
$v(5) = 3 \cdot 5^2 - 8 \cdot 5 = 3 \cdot 25 - 40 = 75 - 40 = 35$ (м/с).

Ответ: скорость в момент времени $t=5$ с равна 35 м/с.

Ускорение

Ускорение $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени $t$, или, что то же самое, второй производной от перемещения $x(t)$. Продифференцируем найденную функцию скорости $v(t)$:
$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 8t)'$

Вычисляем производную:
$a(t) = 6t - 8$

Теперь найдем значение ускорения в момент времени $t = 5$ с:
$a(5) = 6 \cdot 5 - 8 = 30 - 8 = 22$ (м/с²).

Ответ: ускорение в момент времени $t=5$ с равно 22 м/с².