Номер 285, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 285, страница 146.

Условие.

285. — Докажите, что функция f возрастает на R, а функция g убывает на R:

a) $f(x) = 3x + \cos 2x$;

б) $g(x) = -\frac{x^3}{3} - x$;

в) $f(x) = x^7 + 2x^5 + 3$;

г) $g(x) = -4x + \sin 3x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = 3x + \cos 2x$ возрастает на всей числовой прямой (на $R$), нужно найти ее производную и показать, что она положительна для любого значения $x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x + \cos 2x)' = (3x)' + (\cos 2x)' = 3 - 2\sin 2x$.
Теперь оценим значение производной. Мы знаем, что область значений функции синус находится в промежутке от $-1$ до $1$, то есть:
$-1 \le \sin 2x \le 1$.
Умножим все части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-2) \ge -2\sin 2x \ge 1 \cdot (-2)$,
$2 \ge -2\sin 2x \ge -2$.
Прибавим ко всем частям неравенства $3$:
$3 + 2 \ge 3 - 2\sin 2x \ge 3 - 2$,
$5 \ge f'(x) \ge 1$.
Таким образом, производная $f'(x)$ всегда находится в промежутке $[1, 5]$, а значит, она всегда положительна ($f'(x) > 0$) при любом $x \in R$.
Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ возрастает на $R$.

б) Чтобы доказать, что функция $g(x) = -\frac{x^3}{3} - x$ убывает на всей числовой прямой (на $R$), найдем ее производную и покажем, что она отрицательна для любого значения $x$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (-\frac{x^3}{3} - x)' = (-\frac{1}{3} \cdot x^3)' - (x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1 = -x^2 - 1$.
Теперь оценим значение производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$:
$x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на $-1$:
$-x^2 \le 0$.
Вычтем из обеих частей $1$:
$-x^2 - 1 \le -1$.
Таким образом, производная $g'(x) = -x^2 - 1$ всегда меньше или равна $-1$, а значит, она всегда отрицательна ($g'(x) < 0$) при любом $x \in R$.
Следовательно, функция $g(x)$ убывает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $g(x)$ убывает на $R$.

в) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^7 + 2x^5 + 3$ возрастает на $R$, найдем ее производную и покажем, что она неотрицательна.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^7 + 2x^5 + 3)' = 7x^6 + 10x^4$.
Теперь оценим значение производной. Любое число в четной степени неотрицательно, поэтому $x^6 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Следовательно, $7x^6 \ge 0$ и $10x^4 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна:
$f'(x) = 7x^6 + 10x^4 \ge 0$.
Производная может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Найдем, при каких $x$ это происходит:
$7x^6 + 10x^4 = 0$
$x^4(7x^2 + 10) = 0$.
Выражение $7x^2 + 10$ всегда строго положительно. Значит, равенство выполняется только при $x^4 = 0$, то есть при $x=0$.
Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in R$ и обращается в ноль только в одной точке, функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $f(x)$ возрастает на $R$.

г) Чтобы доказать, что функция $g(x) = -4x + \sin 3x$ убывает на $R$, найдем ее производную и покажем, что она отрицательна.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (-4x + \sin 3x)' = -4 + 3\cos 3x$.
Теперь оценим значение производной. Мы знаем, что область значений функции косинус находится в промежутке от $-1$ до $1$:
$-1 \le \cos 3x \le 1$.
Умножим все части неравенства на $3$:
$-3 \le 3\cos 3x \le 3$.
Прибавим ко всем частям неравенства $-4$ (или вычтем $4$):
$-4 - 3 \le -4 + 3\cos 3x \le -4 + 3$,
$-7 \le g'(x) \le -1$.
Таким образом, производная $g'(x)$ всегда находится в промежутке $[-7, -1]$, а значит, она всегда отрицательна ($g'(x) < 0$) при любом $x \in R$.
Следовательно, функция $g(x)$ убывает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция $g(x)$ убывает на $R$.