Номер 288, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 288, страница 150.

Условие.

288.— Найдите критические точки функции:

a) $f(x) = 4 - 2x + 7x^2$;

б) $f(x) = 1 + \cos 2x$;

в) $f(x) = x - 2 \sin x$;

г) $f(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Критические точки функции – это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Все представленные функции определены и дифференцируемы на всей числовой оси, поэтому для нахождения их критических точек необходимо найти производную каждой функции и приравнять ее к нулю.

а)Дана функция $f(x) = 4 - 2x + 7x^2$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (4 - 2x + 7x^2)' = 0 - 2 + 7 \cdot 2x = 14x - 2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$14x - 2 = 0$
$14x = 2$
$x = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

б)Дана функция $f(x) = 1 + \cos 2x$.
Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (1 + \cos 2x)' = 0 - \sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\sin 2x = 0$
$\sin 2x = 0$.
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n – любое целое число).
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)Дана функция $f(x) = x - 2 \sin x$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (x - 2 \sin x)' = 1 - 2 \cos x$.
Приравняем производную к нулю:
$1 - 2 \cos x = 0$
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$.
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)Дана функция $f(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.
Приравняем производную к нулю:
$4 - x^2 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$.
Ответ: $x = -2, x = 2$.