Номер 289, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 289, страница 150.

Условие.

289.- Найдите точки максимума и минимума функции $f$, график которой изображен на рисунке 110. Существует ли производная в соответствующей точке? Если существует, то чему равно ее значение?

Рис. 110

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для левого графика

Точки экстремума — это точки локального максимума («вершины») и минимума («впадины») функции. Производная функции в точке существует, если график в этой точке гладкий (не имеет изломов) и касательная не является вертикальной. Если производная существует в точке экстремума, то она равна нулю (теорема Ферма).

• Точка $x_1$ является точкой минимума. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, производная в точке $x_1$ существует и ее значение равно $f'(x_1) = 0$.
• Точка $x_2$ является точкой максимума. График в этой точке также гладкий, а касательная горизонтальна. Следовательно, производная в точке $x_2$ существует и $f'(x_2) = 0$.
• Точка $x_3$ является точкой минимума. График гладкий, касательная горизонтальна. Производная существует и $f'(x_3) = 0$.
• Точка $x_4$ является точкой максимума. График гладкий, касательная горизонтальна. Производная существует и $f'(x_4) = 0$.

Ответ: Точки минимума — $x_1, x_3$. Точки максимума — $x_2, x_4$. Производная в каждой из этих точек существует и равна нулю.

Для правого графика

Проанализируем точки экстремума на правом графике, используя те же принципы.

• Точка $x_1$ является точкой максимума. В этой точке график имеет излом (острый пик). В такой точке нельзя провести единственную касательную, поэтому производная не существует.
• Точка $x_2$ является точкой минимума. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, производная в точке $x_2$ существует и ее значение равно $f'(x_2) = 0$.
• Точка $x_3$ является точкой максимума. График в этой точке также гладкий, касательная горизонтальна. Производная существует и $f'(x_3) = 0$.
• Точка $x_4$ является точкой минимума. В этой точке график снова имеет излом. Поэтому производная в точке $x_4$ не существует.

Ответ: Точки максимума — $x_1, x_3$. Точки минимума — $x_2, x_4$. Производная существует в точках $x_2$ и $x_3$, и ее значение там равно нулю ($f'(x_2)=0, f'(x_3)=0$). В точках $x_1$ и $x_4$ производная не существует.