Номер 290, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 290, страница 150.

Условие.

290.- Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие — точками минимума:

а) $f(x) = 5 + 12x - x^3$;

б) $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$;

в) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4$;

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = 5 + 12x - x^3$

1. Чтобы найти критические точки, сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (5 + 12x - x^3)' = 12 - 3x^2$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки. Поскольку функция является многочленом, она дифференцируема на всей числовой оси, и ее критические точки — это только стационарные точки.

$12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

3. Определим знаки производной $f'(x) = -3(x-2)(x+2)$ на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -2)$, например, в точке $x = -3$, производная $f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(-2; 2)$, например, в точке $x = 0$, производная $f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(2; +\infty)$, например, в точке $x = 3$, производная $f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.

4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -2$ — точка минимума, $x_{max} = 2$ — точка максимума.

б) $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (9 + 8x^2 - x^4)' = 16x - 4x^3$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$16x - 4x^3 = 0$

$4x(4 - x^2) = 0$

$4x(2 - x)(2 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- При $x < -2$ (например, $x = -3$): $f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)^3 = -48 + 108 = 60 > 0$. Функция возрастает.

- При $-2 < x < 0$ (например, $x = -1$): $f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)^3 = -16 + 4 = -12 < 0$. Функция убывает.

- При $0 < x < 2$ (например, $x = 1$): $f'(1) = 16(1) - 4(1)^3 = 16 - 4 = 12 > 0$. Функция возрастает.

- При $x > 2$ (например, $x = 3$): $f'(3) = 16(3) - 4(3)^3 = 48 - 108 = -60 < 0$. Функция убывает.

4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = 0$ — точка минимума, $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 2$ — точки максимума.

в) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x = 0$

$6x(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

3. Определим знаки производной $f'(x) = 6x(x+1)$ на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -1)$, например, при $x=-2$: $f'(-2) = 6(-2)(-2+1) = 12 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(-1; 0)$, например, при $x=-0.5$: $f'(-0.5) = 6(-0.5)(-0.5+1) = -1.5 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(0; +\infty)$, например, при $x=1$: $f'(1) = 6(1)(1+1) = 12 > 0$. Функция возрастает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -1$ — точка максимума, $x_{min} = 0$ — точка минимума.

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 2x = 2x^3 - 2x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$2x^3 - 2x = 0$

$2x(x^2 - 1) = 0$

$2x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- При $x < -1$ (например, $x = -2$): $f'(-2) = 2(-2)^3 - 2(-2) = -16 + 4 = -12 < 0$. Функция убывает.

- При $-1 < x < 0$ (например, $x = -0.5$): $f'(-0.5) = 2(-0.5)^3 - 2(-0.5) = -0.25 + 1 = 0.75 > 0$. Функция возрастает.

- При $0 < x < 1$ (например, $x = 0.5$): $f'(0.5) = 2(0.5)^3 - 2(0.5) = 0.25 - 1 = -0.75 < 0$. Функция убывает.

- При $x > 1$ (например, $x = 2$): $f'(2) = 2(2)^3 - 2(2) = 16 - 4 = 12 > 0$. Функция возрастает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Ответ: $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$ — точки минимума, $x_{max} = 0$ — точка максимума.