Номер 297, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 297, страница 154.

Условие.

297. a) $f(x) = -x^3 + 3x - 2;$

Б) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3;$

В) $f(x) = x^3 + 3x + 2;$

Г) $f(x) = 3x^2 - x^3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи проведем полное исследование каждой функции, включая нахождение области определения, точек пересечения с осями координат, промежутков возрастания и убывания, точек экстремума, а также промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба.

а) $f(x) = -x^3 + 3x - 2$

1. Область определения функции:

   Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = -0^3 + 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \Rightarrow -x^3 + 3x - 2 = 0$, или $x^3 - 3x + 2 = 0$.

   Подбором находим корень $x=1$: $1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$.

   Разделим многочлен $x^3 - 3x + 2$ на $(x-1)$: получаем $(x-1)(x^2 + x - 2) = 0$.

   Решаем квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x=1$ и $x=-2$.

   Таким образом, точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(1; 0)$ (касание в точке $x=1$).

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) - 2 = x^3 - 3x - 2$.

   Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Находим первую производную: $f'(x) = (-x^3 + 3x - 2)' = -3x^2 + 3$.

   Приравниваем производную к нулю: $-3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Это критические точки.

   Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   В точке $x=-1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $f_{min} = f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$.

   В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $f_{max} = f(1) = -(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Находим вторую производную: $f''(x) = (-3x^2 + 3)' = -6x$.

   Приравниваем вторую производную к нулю: $-6x = 0 \Rightarrow x=0$.

   • При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
   • При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

   В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $f(0) = -2$. Точка перегиба $(0; -2)$.

Ответ: Функция $f(x) = -x^3 + 3x - 2$ возрастает на интервале $(-1; 1)$ и убывает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$. Точка минимума $(-1; -4)$, точка максимума $(1; 0)$. График функции вогнутый на $(-\infty; 0)$ и выпуклый на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; -2)$. Пересечение с осями: $(-2; 0)$, $(1; 0)$, $(0; -2)$.

б) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0 - 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \Rightarrow x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.

   Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 2t - 3 = 0$.

   Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t \ge 0$.

   Возвращаемся к замене: $x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$. Точки пересечения $(\sqrt{3}; 0)$ и $(-\sqrt{3}; 0)$.

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = f(x)$.

   Функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Первая производная: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=1, x_3=-1$.

   • При $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-1$: точка минимума. $f_{min} = f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

   $x=0$: точка максимума. $f_{max} = f(0) = -3$.

   $x=1$: точка минимума. $f_{min} = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Вторая производная: $f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

   • При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
   • При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   Точки $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ являются точками перегиба. $f(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) - 3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.

   Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$.

Ответ: Функция $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$ является четной. Убывает на $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$, возрастает на $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$. Точки минимума $(-1; -4)$ и $(1; -4)$, точка максимума $(0; -3)$. График вогнутый на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, выпуклый на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба $(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$. Пересечение с осями: $(\pm\sqrt{3}; 0)$ и $(0; -3)$.

в) $f(x) = x^3 + 3x + 2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0 + 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.

   С осью $Ox$: $x^3 + 3x + 2 = 0$. Так как $f(-1)=-2$ и $f(0)=2$, а функция непрерывна, существует корень на интервале $(-1; 0)$. Поскольку, как будет показано ниже, функция строго возрастает, этот корень единственный. Обозначим его $x_0$.

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = (-x)^3 + 3(-x) + 2 = -x^3 - 3x + 2$.

   Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Первая производная: $f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)$.

   Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$ для всех $x$.

   Функция строго возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Вторая производная: $f''(x) = (3x^2 + 3)' = 6x$.

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x=0$.

   • При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
   • При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   $x=0$ — точка перегиба. $f(0)=2$. Точка перегиба $(0; 2)$.

Ответ: Функция $f(x) = x^3 + 3x + 2$ строго возрастает на всей числовой оси. Точек экстремумов нет. График функции выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; 2)$, которая также является точкой пересечения с осью $Oy$. Существует единственная точка пересечения с осью $Ox$ в интервале $(-1; 0)$.

г) $f(x) = 3x^2 - x^3$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \Rightarrow 3x^2 - x^3 = 0 \Rightarrow x^2(3-x) = 0$.

   Корни $x=0$ (двойной корень) и $x=3$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3$.

   Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Первая производная: $f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x(2-x)$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$.

   • При $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=0$: точка минимума. $f_{min} = f(0) = 0$.

   $x=2$: точка максимума. $f_{max} = f(2) = 3(2^2) - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Вторая производная: $f''(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x = 6(1-x)$.

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 6(1-x) = 0 \Rightarrow x=1$.

   • При $x \in (-\infty; 1)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=1$ — точка перегиба. $f(1) = 3(1)^2 - 1^3 = 2$. Точка перегиба $(1; 2)$.

Ответ: Функция $f(x) = 3x^2 - x^3$ убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, возрастает на $(0; 2)$. Точка минимума $(0; 0)$, точка максимума $(2; 4)$. График функции вогнутый на $(-\infty; 1)$ и выпуклый на $(1; +\infty)$. Точка перегиба $(1; 2)$. Пересечение с осями: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.